[滑模控制器浅述] (2) 滑模控制抗干扰原理

[滑模控制器浅述] (2) 滑模控制抗干扰原理

  • [滑模控制器浅述] (2) 滑模控制抗干扰原理
    • 1 前言
    • 2 滑模控制器的抗干扰原理

[滑模控制器浅述] (2) 滑模控制抗干扰原理

本博客需要一些现代控制理论中Lyapunov稳定性的一些理论知识。
您需要对滑模控制有一个初步的了解,可以参考:
[滑模控制器浅述] (1) 二阶系统的简单滑模控制器设计

1 前言

滑模控制这么好,大家都爱用它,就是因为其自身有不错的抗干扰和抗参数不确定能力。本文将从数学和理论的角度,叙述为什么滑模控制能够抗干扰。
[滑模控制器浅述] (3) 滑模控制抗系统参数不定原理

2 滑模控制器的抗干扰原理

考虑任意带干扰的二阶系统:
{ x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = f ( x 1 , x 2 ) + g ( x 1 , x 2 ) u + d \left\{ \begin{aligned} & {{{\dot{x}}}_{1}}={{x}_{2}} \\ & {{{\dot{x}}}_{2}}=f\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)+g\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)u+d \\ \end{aligned} \right. {x˙1=x2x˙2=f(x1,x2)+g(x1,x2)u+d其中 d d d是一个未知干扰,一般需要规定其上界 ∣ d ∣ < σ \left| d \right|<\sigma d<σ,首先按照前文方法设计滑模控制器。
([滑模控制器浅述] (1) 二阶系统的简单滑模控制器设计)
定义误差:
e 1 = x 1 d − x 1 {{e}_{1}}=x_{1}^{d}-{{x}_{1}} e1=x1dx1考虑滑模面, c > 0 c>0 c>0
s = e ˙ 1 + c e 1 s={{\dot{e}}_{1}}+c{{e}_{1}} s=e˙1+ce1求导:
s ˙ = e ¨ 1 + c e ˙ 1 = x ¨ 1 d − x ˙ 2 + c e ˙ 1 \dot{s}={{\ddot{e}}_{1}}+c{{\dot{e}}_{1}}=\ddot{x}_{1}^{d}-{{\dot{x}}_{2}}+c{{\dot{e}}_{1}} s˙=e¨1+ce˙1=x¨1dx˙2+ce˙1设计趋近律, ε > 0 \varepsilon >0 ε>0 r > 0 r>0 r>0
s ˙ = − ε s g n ( s ) − r s \dot{s}=-\varepsilon sgn \left( s \right)-rs s˙=εsgn(s)rs根据上面两式,可以求解输入:
x ¨ 1 d − x ˙ 2 + c e ˙ 1 = − ε s g n ( s ) − r s x ¨ 1 d − f ( x 1 , x 2 ) − g ( x 1 , x 2 ) u − d + c e ˙ 1 = − ε s g n ( s ) − r s u = x ¨ 1 d − f ( x 1 , x 2 ) − d + ε s g n ( s ) + r s + c e ˙ 1 g ( x 1 , x 2 ) \begin{aligned} & \ddot{x}_{1}^{d}-{{{\dot{x}}}_{2}}+c{{{\dot{e}}}_{1}}=-\varepsilon sgn \left( s \right)-rs \\ & \ddot{x}_{1}^{d}-f\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)-g\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)u-d+c{{{\dot{e}}}_{1}}=-\varepsilon sgn \left( s \right)-rs \\ & u=\frac{\ddot{x}_{1}^{d}-f\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)-d+\varepsilon sgn \left( s \right)+rs+c{{{\dot{e}}}_{1}}}{g\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)} \end{aligned} x¨1dx˙2+ce˙1=εsgn(s)rsx¨1df(x1,x2)g(x1,x2)ud+ce˙1=εsgn(s)rsu=g(x1,x2)x¨1df(x1,x2)d+εsgn(s)+rs+ce˙1这就会发现一个很尴尬的是事实,求解出来的输入 u u u居然是包含干扰 d d d的,意思是要求出来 u u u,首先需要知道 d d d,呵呵,这根本不是我们想要的结果!
因此,考虑:
s ˙ = − ε s g n ( s ) − r s − d \dot{s}=-\varepsilon sgn \left( s \right)-rs-d s˙=εsgn(s)rsd再次求解输入:
x ¨ 1 d − x ˙ 2 + c e ˙ 1 = − ε s g n ( s ) − r s − d x ¨ 1 d − f ( x 1 , x 2 ) − g ( x 1 , x 2 ) u − d + c e ˙ 1 = − ε s g n ( s ) − r s − d u = x ¨ 1 d − f ( x 1 , x 2 ) + ε s g n ( s ) + r s + c e ˙ 1 g ( x 1 , x 2 ) \begin{aligned} & \ddot{x}_{1}^{d}-{{{\dot{x}}}_{2}}+c{{{\dot{e}}}_{1}}=-\varepsilon sgn \left( s \right)-rs-d \\ & \ddot{x}_{1}^{d}-f\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)-g\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)u-d+c{{{\dot{e}}}_{1}}=-\varepsilon sgn \left( s \right)-rs-d \\ & u=\frac{\ddot{x}_{1}^{d}-f\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)+\varepsilon sgn \left( s \right)+rs+c{{{\dot{e}}}_{1}}}{g\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)} \end{aligned} x¨1dx˙2+ce˙1=εsgn(s)rsdx¨1df(x1,x2)g(x1,x2)ud+ce˙1=εsgn(s)rsdu=g(x1,x2)x¨1df(x1,x2)+εsgn(s)+rs+ce˙1这样求解出来的输入 u u u就不需要干扰 d d d的信息了。下面解释对于这个滑模控制器选取怎样的参数 ε \varepsilon ε r r r才能使得控制是稳定的。
考虑如下Lyapunov函数:
V = 1 2 s 2 V=\frac{1}{2}{{s}^{2}} V=21s2求导:
V ˙ = s s ˙ = − ε s s g n ( s ) − r s 2 − s d ≤ − ∣ s ∣ ( ε − ∣ d ∣ ) − r s 2 ≤ − ∣ s ∣ ( ε − σ ) − r s 2 \begin{aligned} & \dot{V}=s\dot{s} \\ & =-\varepsilon ssgn \left( s \right)-r{{s}^{2}}-sd \\ & \le -\left| s \right|\left( \varepsilon -\left| d \right| \right)-r{{s}^{2}} \\ & \le -\left| s \right|\left( \varepsilon -\sigma \right)-r{{s}^{2}} \end{aligned} V˙=ss˙=εssgn(s)rs2sds(εd)rs2s(εσ)rs2这说明如果有 ε > σ \varepsilon >\sigma ε>σ,即 ε \varepsilon ε大于干扰上界 σ \sigma σ,那么有 V ˙ ≤ 0 \dot{V}\le 0 V˙0,稳定,有 s → 0 s\to 0 s0,即有 e → 0 e\to 0 e0 e ˙ → 0 \dot{e}\to 0 e˙0。系统稳定。
从Lyapunov证明过程来看,其实是输入 u u u中的 s g n ( s ) sgn \left( s \right) sgn(s)项有抗干扰作用,然而,这种抗干扰是很暴力的,可能对要求执行器快速地切换输入 u u u的符号,对执行器很不友好,其系数 ε \varepsilon ε越大,理论上抗干扰能力越强,对执行器要求越大,实际系统很多都是难以达到。
因此,实际使用中 s g n ( s ) sgn \left( s \right) sgn(s)项的系数不应过大,其应对的应当还只是小幅度的干扰(或是小幅度系统不确定,如果笔者不咕咕咕,后面将会介绍滑模控制抗系统参数不确定的原理),对于较大干扰应当使用更加专业的干扰观测器(Disturbance Observer)。

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