[滑模控制器浅述] （2） 滑模控制抗干扰原理

[滑模控制器浅述] （2） 滑模控制抗干扰原理

本博客需要一些现代控制理论中Lyapunov稳定性的一些理论知识。
您需要对滑模控制有一个初步的了解，可以参考：
[滑模控制器浅述] （1） 二阶系统的简单滑模控制器设计

1 前言

滑模控制这么好，大家都爱用它，就是因为其自身有不错的抗干扰和抗参数不确定能力。本文将从数学和理论的角度，叙述为什么滑模控制能够抗干扰。
[滑模控制器浅述] （3） 滑模控制抗系统参数不定原理

2 滑模控制器的抗干扰原理

考虑任意带干扰的二阶系统：
$$\{\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_1=x_2\\ & {\dot{x}}_2=f\left(x_1,x_2\right)+g\left(x_1,x_2\right)u+d\end{array}$$其中$d$是一个未知干扰，一般需要规定其上界$\left|d\right|<\sigma$，首先按照前文方法设计滑模控制器。
([滑模控制器浅述] （1） 二阶系统的简单滑模控制器设计)
定义误差：
$$e_1=x_1^d-x_1$$考虑滑模面，$c>0$：
$$s={\dot{e}}_1+c{e}_1$$求导：
$$\dot{s}={\ddot{e}}_1+c{\dot{e}}_1={\ddot{x}}_1^d-{\dot{x}}_2+c{\dot{e}}_1$$设计趋近律，$\epsilon >0$，$r>0$：
$$\dot{s}=-\epsilon sgn\left(s\right)-rs$$根据上面两式，可以求解输入：
$$\begin{array}{rl}& {\ddot{x}}_1^d-{\dot{x}}_2+c{\dot{e}}_1=-\epsilon sgn\left(s\right)-rs\\ & {\ddot{x}}_1^d-f\left(x_1,x_2\right)-g\left(x_1,x_2\right)u-d+c{\dot{e}}_1=-\epsilon sgn\left(s\right)-rs\\ & u=\frac{{\ddot{x}}_1^d-f\left(x_1,x_2\right)-d+\epsilon sgn\left(s\right)+rs+c{\dot{e}}_1}{g\left(x_1,x_2\right)}\end{array}$$这就会发现一个很尴尬的是事实，求解出来的输入$u$居然是包含干扰$d$的，意思是要求出来$u$，首先需要知道$d$，呵呵，这根本不是我们想要的结果！
因此，考虑：
$$\dot{s}=-\epsilon sgn\left(s\right)-rs-d$$再次求解输入：
$$\begin{array}{rl}& {\ddot{x}}_1^d-{\dot{x}}_2+c{\dot{e}}_1=-\epsilon sgn\left(s\right)-rs-d\\ & {\ddot{x}}_1^d-f\left(x_1,x_2\right)-g\left(x_1,x_2\right)u-d+c{\dot{e}}_1=-\epsilon sgn\left(s\right)-rs-d\\ & u=\frac{{\ddot{x}}_1^d-f\left(x_1,x_2\right)+\epsilon sgn\left(s\right)+rs+c{\dot{e}}_1}{g\left(x_1,x_2\right)}\end{array}$$这样求解出来的输入$u$就不需要干扰$d$的信息了。下面解释对于这个滑模控制器选取怎样的参数$\epsilon$和$r$才能使得控制是稳定的。
考虑如下Lyapunov函数：
$$V=\frac{1}{2}{s}^2$$求导：
$$\begin{array}{rl}& \dot{V}=s\dot{s}\\ & =-\epsilon ssgn\left(s\right)-r{s}^2-sd\\ & \le -\left|s\right|\left(\epsilon -\left|d\right|\right)-r{s}^2\\ & \le -\left|s\right|\left(\epsilon -\sigma \right)-r{s}^2\end{array}$$这说明如果有$\epsilon >\sigma$，即$\epsilon$大于干扰上界$\sigma$，那么有$\dot{V}\le 0$，稳定，有$s\to 0$，即有$e\to 0$，$\dot{e}\to 0$。系统稳定。
从Lyapunov证明过程来看，其实是输入$u$中的$sgn\left(s\right)$项有抗干扰作用，然而，这种抗干扰是很暴力的，可能对要求执行器快速地切换输入$u$的符号，对执行器很不友好，其系数$\epsilon$越大，理论上抗干扰能力越强，对执行器要求越大，实际系统很多都是难以达到。
因此，实际使用中$sgn\left(s\right)$项的系数不应过大，其应对的应当还只是小幅度的干扰（或是小幅度系统不确定，如果笔者不咕咕咕，后面将会介绍滑模控制抗系统参数不确定的原理），对于较大干扰应当使用更加专业的干扰观测器（Disturbance Observer）。