hessian矩阵

在数学中，海赛矩阵是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：

 

如果f所有的二阶导数都存在，那么f 的海赛矩阵即：

H(f)ij(x) = DiDjf(x)

 

其中  ，即

 

（也有人把海色定义为以上矩阵的行列式） 海赛矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。

 混合偏导数和海赛矩阵的对称性

海赛矩阵的混合偏导数是海色矩阵主对角线上的元素。假如他们是连续的，那么求导顺序没有区别，即

 

上式也可写为

 

在正式写法中，如果f函数在区域D内连续并处处存在二阶导数，那么f的海赛矩阵在D区域内为对称矩阵。

多元函数极值的判定

如果实值多元函数

   

二阶连续可导，并且在临界点

   

（其中

   

，并且

   

已知）处 梯度（一阶导数） 等于0，即

   

，

   

为 驻点。仅通过一阶导数无法判断在临界点

   

处是极大值还是极小值。

记

   

在

   

点处的黑塞矩阵为

   

。由于

   

在

   

点处连续，所以

   

是一个

   

的对称矩阵。对于

   

，有如下结论：

• 如果H(M)是正定矩阵，则临界点M处是一个局部的极小值。
• 如果H(M)是负定矩阵，则临界点M处是一个局部的极大值。
• 如果H(M)是不定矩阵，则临界点M处不是极值.

利用hessian矩阵提取关键点一般步骤如下

1. 对每个像素点计算图像在X方向Y方向的二阶偏导数，计算图像的XY方向的导数

2. 根据第一步的计算结果，有Hessian Matrix计算D(h) = Ixx*Iyy - Ixy*Ixy

其中Ixx表示X方向的二阶偏导数

Iyy表示Y方向的二阶偏导数

Ixy表XY方向的二阶导数

3. 根据第二步计算出来的值使用3×3窗口实现非最大信号压制，