维特比算法详解

原文：http://www.hankcs.com/nlp/hmm-and-segmentation-tagging-named-entity-recognition.html

HMM（隐马尔可夫模型）是用来描述隐含未知参数的统计模型，举一个经典的例子：一个东京的朋友每天根据天气{下雨，天晴}决定当天的活动{公园散步,购物,清理房间}中的一种，我每天只能在twitter上看到她发的推“啊，我前天公园散步、昨天购物、今天清理房间了！”，那么我可以根据她发的推特推断东京这三天的天气。在这个例子里，显状态是活动，隐状态是天气。

2014年11月23日更新：

我已利用HMM角色标注实现了中国人名、翻译人名、日本人名、地名、机构名等命名实体的识别，请参考此目录命名实体识别。

HMM描述

任何一个HMM都可以通过下列五元组来描述：

1.     :param obs:观测序列
2.     :param states:隐状态
3.     :param start_p:初始概率（隐状态）
4.     :param trans_p:转移概率（隐状态）
5.     :param emit_p: 发射概率 （隐状态表现为显状态的概率）

例子描述

这个例子可以用如下的HMM来描述：

1. states = ('Rainy', 'Sunny')
2.  
3. observations = ('walk', 'shop', 'clean')
4.  
5. start_probability = {'Rainy': 0.6, 'Sunny': 0.4}
6.  
7. transition_probability = {
8.     'Rainy' : {'Rainy': 0.7, 'Sunny': 0.3},
9.     'Sunny' : {'Rainy': 0.4, 'Sunny': 0.6},
10.     }
11.  
12. emission_probability = {
13.     'Rainy' : {'walk': 0.1, 'shop': 0.4, 'clean': 0.5},
14.     'Sunny' : {'walk': 0.6, 'shop': 0.3, 'clean': 0.1},
15. }

求解最可能的天气

求解最可能的隐状态序列是HMM的三个典型问题之一，通常用维特比算法解决。维特比算法就是求解HMM上的最短路径（-log(prob)，也即是最大概率）的算法。

稍微用中文讲讲思路，很明显，第一天天晴还是下雨可以算出来：

1. 定义V[时间][今天天气] = 概率，注意今天天气指的是，前几天的天气都确定下来了（概率最大）今天天气是X的概率，这里的概率就是一个累乘的概率了。

2.     因为第一天我的朋友去散步了，所以第一天下雨的概率V[第一天][下雨] = 初始概率[下雨] * 发射概率[下雨][散步] = 0.6 * 0.1 = 0.06，同理可得V[第一天][天晴] = 0.24 。从直觉上来看，因为第一天朋友出门了，她一般喜欢在天晴的时候散步，所以第一天天晴的概率比较大，数字与直觉统一了。【不大恰当】

3. 从第二天开始，对于每种天气Y，都有前一天天气是X的概率 * X转移到Y的概率 * Y天气下朋友进行这天这种活动的概率。因为前一天天气X有两种可能，所以Y的概率有两个，选取其中较大一个作为V[第二天][天气Y]的概率，同时将今天的天气加入到结果序列中

4. 比较V[最后一天][下雨]和[最后一天][天晴]的概率，找出较大的哪一个对应的序列，就是最终结果。

这个例子的Python代码：

1. # -*- coding:utf-8 -*-
2. # Filename: viterbi.py
3. # Author：hankcs
4. # Date: 2014-05-13 下午8:51
5.  
6. states = ('Rainy', 'Sunny')
7.  
8. observations = ('walk', 'shop', 'clean')
9.  
10. start_probability = {'Rainy': 0.6, 'Sunny': 0.4}
11.  
12. transition_probability = {
13.     'Rainy' : {'Rainy': 0.7, 'Sunny': 0.3},
14.     'Sunny' : {'Rainy': 0.4, 'Sunny': 0.6},
15.     }
16.  
17. emission_probability = {
18.     'Rainy' : {'walk': 0.1, 'shop': 0.4, 'clean': 0.5},
19.     'Sunny' : {'walk': 0.6, 'shop': 0.3, 'clean': 0.1},
20. }
21.  
22. # 打印路径概率表
23. def print_dptable(V):
24.     print "    ",
25.     for i in range(len(V)): print "%7d" % i,
26.     print
27.  
28.     for y in V[0].keys():
29.         print "%.5s: " % y,
30.         for t in range(len(V)):
31.             print "%.7s" % ("%f" % V[t][y]),
32.         print
33.  
34.  
35. def viterbi(obs, states, start_p, trans_p, emit_p):
36.     """
37.  
38.     :param obs:观测序列
39.     :param states:隐状态
40.     :param start_p:初始概率（隐状态）
41.     :param trans_p:转移概率（隐状态）
42.     :param emit_p: 发射概率 （隐状态表现为显状态的概率）
43.     :return:
44.     """
45.     # 路径概率表 V[时间][隐状态] = 概率
46.     V = [{}]
47.     # 一个中间变量，代表当前状态是哪个隐状态
48.     path = {}
49.  
50.     # 初始化初始状态 (t == 0)
51.     for y in states:
52.         V[0][y] = start_p[y] * emit_p[y][obs[0]]
53.         path[y] = [y]
54.  
55.     # 对 t > 0 跑一遍维特比算法
56.     for t in range(1, len(obs)):
57.         V.append({})
58.         newpath = {}
59.  
60.         for y in states:
61.             # 概率 隐状态 =    前状态是y0的概率 * y0转移到y的概率 * y表现为当前状态的概率
62.             (prob, state) = max([(V[t - 1][y0] * trans_p[y0][y] * emit_p[y][obs[t]], y0) for y0 in states])
63.             # 记录最大概率
64.             V[t][y] = prob
65.             # 记录路径
66.             newpath[y] = path[state] + [y]
67.  
68.         # 不需要保留旧路径
69.         path = newpath
70.  
71.     print_dptable(V)
72.     (prob, state) = max([(V[len(obs) - 1][y], y) for y in states])
73.     return (prob, path[state])
74.  
75.  
76. def example():
77.     return viterbi(observations,
78.                    states,
79.                    start_probability,
80.                    transition_probability,
81.                    emission_probability)
82.  
83.  
84. print example()

输出：

1.            0       1       2
2. Rainy:  0.06000 0.03840 0.01344
3. Sunny:  0.24000 0.04320 0.00259
4. (0.01344, ['Sunny', 'Rainy', 'Rainy'])

NLP应用

具体到分词系统，可以将天气当成“标签”，活动当成“字或词”。那么，几个NLP的问题就可以转化为：

• 词性标注：给定一个词的序列（也就是句子），找出最可能的词性序列（标签是词性）。如ansj分词和ICTCLAS分词等。

• 分词：给定一个字的序列，找出最可能的标签序列（断句符号：[词尾]或[非词尾]构成的序列）。结巴分词目前就是利用BMES标签来分词的，B（开头）,M（中间),E(结尾),S(独立成词）

• 命名实体识别：给定一个词的序列，找出最可能的标签序列（内外符号：[内]表示词属于命名实体，[外]表示不属于）。如ICTCLAS实现的人名识别、翻译人名识别、地名识别都是用同一个Tagger实现的。

小结

HMM是一个通用的方法，可以解决贴标签的一系列问题。