详解LSTM

零基础入门深度学习(6) - 长短时记忆网络(LSTM)

机器学习 深度学习入门

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https://www.zybuluo.com/hanbingtao/note/581764

无论即将到来的是大数据时代还是人工智能时代，亦或是传统行业使用人工智能在云上处理大数据的时代，作为一个有理想有追求的程序员，不懂深度学习（Deep Learning）这个超热的技术，会不会感觉马上就out了？现在救命稻草来了，《零基础入门深度学习》系列文章旨在讲帮助爱编程的你从零基础达到入门级水平。零基础意味着你不需要太多的数学知识，只要会写程序就行了，没错，这是专门为程序员写的文章。虽然文中会有很多公式你也许看不懂，但同时也会有更多的代码，程序员的你一定能看懂的（我周围是一群狂热的Clean Code程序员，所以我写的代码也不会很差）。

文章列表

零基础入门深度学习(1) - 感知器 
零基础入门深度学习(2) - 线性单元和梯度下降 
零基础入门深度学习(3) - 神经网络和反向传播算法 
零基础入门深度学习(4) - 卷积神经网络 
零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络 
零基础入门深度学习(6) - 长短时记忆网络(LSTM) 
零基础入门深度学习(7) - 递归神经网络

往期回顾

在上一篇文章中，我们介绍了循环神经网络以及它的训练算法。我们也介绍了循环神经网络很难训练的原因，这导致了它在实际应用中，很难处理长距离的依赖。在本文中，我们将介绍一种改进之后的循环神经网络：长短时记忆网络(Long Short Term Memory Network, LSTM)，它成功的解决了原始循环神经网络的缺陷，成为当前最流行的RNN，在语音识别、图片描述、自然语言处理等许多领域中成功应用。但不幸的一面是，LSTM的结构很复杂，因此，我们需要花上一些力气，才能把LSTM以及它的训练算法弄明白。在搞清楚LSTM之后，我们再介绍一种LSTM的变体：GRU (Gated Recurrent Unit)。 它的结构比LSTM简单，而效果却和LSTM一样好，因此，它正在逐渐流行起来。最后，我们仍然会动手实现一个LSTM。

长短时记忆网络是啥

我们首先了解一下长短时记忆网络产生的背景。回顾一下零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络中推导的，误差项沿时间反向传播的公式：

我们可以根据下面的不等式，来获取的模的上界（模可以看做对中每一项值的大小的度量）：

我们可以看到，误差项从t时刻传递到k时刻，其值的上界是的指数函数。分别是对角矩阵和矩阵W模的上界。显然，除非乘积的值位于1附近，否则，当t-k很大时（也就是误差传递很多个时刻时），整个式子的值就会变得极小（当乘积小于1）或者极大（当乘积大于1），前者就是梯度消失，后者就是梯度爆炸。虽然科学家们搞出了很多技巧（比如怎样初始化权重），让的值尽可能贴近于1，终究还是难以抵挡指数函数的威力。

梯度消失到底意味着什么？在零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络中我们已证明，权重数组W最终的梯度是各个时刻的梯度之和，即：

假设某轮训练中，各时刻的梯度以及最终的梯度之和如下图：

我们就可以看到，从上图的t-3时刻开始，梯度已经几乎减少到0了。那么，从这个时刻开始再往之前走，得到的梯度（几乎为零）就不会对最终的梯度值有任何贡献，这就相当于无论t-3时刻之前的网络状态h是什么，在训练中都不会对权重数组W的更新产生影响，也就是网络事实上已经忽略了t-3时刻之前的状态。这就是原始RNN无法处理长距离依赖的原因。

既然找到了问题的原因，那么我们就能解决它。从问题的定位到解决，科学家们大概花了7、8年时间。终于有一天，Hochreiter和Schmidhuber两位科学家发明出长短时记忆网络，一举解决这个问题。

其实，长短时记忆网络的思路比较简单。原始RNN的隐藏层只有一个状态，即h，它对于短期的输入非常敏感。那么，假如我们再增加一个状态，即c，让它来保存长期的状态，那么问题不就解决了么？如下图所示：

新增加的状态c，称为单元状态(cell state)。我们把上图按照时间维度展开：

上图仅仅是一个示意图，我们可以看出，在t时刻，LSTM的输入有三个：当前时刻网络的输入值、上一时刻LSTM的输出值、以及上一时刻的单元状态；LSTM的输出有两个：当前时刻LSTM输出值、和当前时刻的单元状态。注意、、都是向量。

LSTM的关键，就是怎样控制长期状态c。在这里，LSTM的思路是使用三个控制开关。第一个开关，负责控制继续保存长期状态c；第二个开关，负责控制把即时状态输入到长期状态c；第三个开关，负责控制是否把长期状态c作为当前的LSTM的输出。三个开关的作用如下图所示：

接下来，我们要描述一下，输出h和单元状态c的具体计算方法。

长短时记忆网络的前向计算

前面描述的开关是怎样在算法中实现的呢？这就用到了门（gate）的概念。门实际上就是一层全连接层，它的输入是一个向量，输出是一个0到1之间的实数向量。假设W是门的权重向量，是偏置项，那么门可以表示为：

门的使用，就是用门的输出向量按元素乘以我们需要控制的那个向量。因为门的输出是0到1之间的实数向量，那么，当门输出为0时，任何向量与之相乘都会得到0向量，这就相当于啥都不能通过；输出为1时，任何向量与之相乘都不会有任何改变，这就相当于啥都可以通过。因为（也就是sigmoid函数）的值域是(0,1)，所以门的状态都是半开半闭的。

LSTM用两个门来控制单元状态c的内容，一个是遗忘门（forget gate），它决定了上一时刻的单元状态有多少保留到当前时刻；另一个是输入门（input gate），它决定了当前时刻网络的输入有多少保存到单元状态。LSTM用输出门（output gate）来控制单元状态有多少输出到LSTM的当前输出值。

我们先来看一下遗忘门：

式

上式中，是遗忘门的权重矩阵，表示把两个向量连接成一个更长的向量，是遗忘门的偏置项，是sigmoid函数。如果输入的维度是，隐藏层的维度是，单元状态的维度是（通常），则遗忘门的权重矩阵维度是。事实上，权重矩阵都是两个矩阵拼接而成的：一个是，它对应着输入项，其维度为；一个是，它对应着输入项，其维度为。可以写为：

下图显示了遗忘门的计算：

接下来看看输入门：

式

上式中，是输入门的权重矩阵，是输入门的偏置项。下图表示了输入门的计算：

接下来，我们计算用于描述当前输入的单元状态，它是根据上一次的输出和本次输入来计算的：

式

下图是的计算：

现在，我们计算当前时刻的单元状态。它是由上一次的单元状态按元素乘以遗忘门，再用当前输入的单元状态按元素乘以输入门，再将两个积加和产生的：

式

符号表示按元素乘。下图是的计算：

这样，我们就把LSTM关于当前的记忆和长期的记忆组合在一起，形成了新的单元状态。由于遗忘门的控制，它可以保存很久很久之前的信息，由于输入门的控制，它又可以避免当前无关紧要的内容进入记忆。下面，我们要看看输出门，它控制了长期记忆对当前输出的影响：

式

下图表示输出门的计算：

LSTM最终的输出，是由输出门和单元状态共同确定的：

式

下图表示LSTM最终输出的计算：

式1到式6就是LSTM前向计算的全部公式。至此，我们就把LSTM前向计算讲完了。

长短时记忆网络的训练

熟悉我们这个系列文章的同学都清楚，训练部分往往比前向计算部分复杂多了。LSTM的前向计算都这么复杂，那么，可想而知，它的训练算法一定是非常非常复杂的。现在只有做几次深呼吸，再一头扎进公式海洋吧。

LSTM训练算法框架

LSTM的训练算法仍然是反向传播算法，对于这个算法，我们已经非常熟悉了。主要有下面三个步骤：

1. 前向计算每个神经元的输出值，对于LSTM来说，即、、、、五个向量的值。计算方法已经在上一节中描述过了。
2. 反向计算每个神经元的误差项值。与循环神经网络一样，LSTM误差项的反向传播也是包括两个方向：一个是沿时间的反向传播，即从当前t时刻开始，计算每个时刻的误差项；一个是将误差项向上一层传播。
3. 根据相应的误差项，计算每个权重的梯度。

关于公式和符号的说明

首先，我们对推导中用到的一些公式、符号做一下必要的说明。

接下来的推导中，我们设定gate的激活函数为sigmoid函数，输出的激活函数为tanh函数。他们的导数分别为：

从上面可以看出，sigmoid和tanh函数的导数都是原函数的函数。这样，我们一旦计算原函数的值，就可以用它来计算出导数的值。

LSTM需要学习的参数共有8组，分别是：遗忘门的权重矩阵和偏置项、输入门的权重矩阵和偏置项、输出门的权重矩阵和偏置项，以及计算单元状态的权重矩阵和偏置项。因为权重矩阵的两部分在反向传播中使用不同的公式，因此在后续的推导中，权重矩阵、、、都将被写为分开的两个矩阵：、、、、、、、。

我们解释一下按元素乘符号。当作用于两个向量时，运算如下：

当作用于一个向量和一个矩阵时，运算如下：

当作用于两个矩阵时，两个矩阵对应位置的元素相乘。按元素乘可以在某些情况下简化矩阵和向量运算。例如，当一个对角矩阵右乘一个矩阵时，相当于用对角矩阵的对角线组成的向量按元素乘那个矩阵：

当一个行向量右乘一个对角矩阵时，相当于这个行向量按元素乘那个矩阵对角线组成的向量：

上面这两点，在我们后续推导中会多次用到。

在t时刻，LSTM的输出值为。我们定义t时刻的误差项为：

注意，和前面几篇文章不同，我们这里假设误差项是损失函数对输出值的导数，而不是对加权输入的导数。因为LSTM有四个加权输入，分别对应、、、，我们希望往上一层传递一个误差项而不是四个。但我们仍然需要定义出这四个加权输入，以及他们对应的误差项。

误差项沿时间的反向传递

沿时间反向传递误差项，就是要计算出t-1时刻的误差项。

我们知道，是一个Jacobian矩阵。如果隐藏层h的维度是N的话，那么它就是一个矩阵。为了求出它，我们列出的计算公式，即前面的式6和式4：

显然，、、、都是的函数，那么，利用全导数公式可得：

式

下面，我们要把式7中的每个偏导数都求出来。根据式6，我们可以求出：

根据式4，我们可以求出：

因为：

我们很容易得出：

将上述偏导数带入到式7，我们得到：

式

根据、、、的定义，可知：

式式式式

式8到式12就是将误差沿时间反向传播一个时刻的公式。有了它，我们可以写出将误差项向前传递到任意k时刻的公式：

式

将误差项传递到上一层

我们假设当前为第l层，定义l-1层的误差项是误差函数对l-1层加权输入的导数，即：

本次LSTM的输入由下面的公式计算：

上式中，表示第l-1层的激活函数。

因为、、、都是的函数，又是的函数，因此，要求出E对的导数，就需要使用全导数公式：

式

式14就是将误差传递到上一层的公式。

权重梯度的计算

对于、、、的权重梯度，我们知道它的梯度是各个时刻梯度之和（证明过程请参考文章零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络），我们首先求出它们在t时刻的梯度，然后再求出他们最终的梯度。

我们已经求得了误差项、、、，很容易求出t时刻的、的、的、的：

将各个时刻的梯度加在一起，就能得到最终的梯度：

对于偏置项、、、的梯度，也是将各个时刻的梯度加在一起。下面是各个时刻的偏置项梯度：

下面是最终的偏置项梯度，即将各个时刻的偏置项梯度加在一起：

对于、、、的权重梯度，只需要根据相应的误差项直接计算即可：

以上就是LSTM的训练算法的全部公式。因为这里面存在很多重复的模式，仔细看看，会发觉并不是太复杂。

当然，LSTM存在着相当多的变体，读者可以在互联网上找到很多资料。因为大家已经熟悉了基本LSTM的算法，因此理解这些变体比较容易，因此本文就不再赘述了。

长短时记忆网络的实现

完整代码请参考GitHub: https://github.com/hanbt/learn_dl/blob/master/lstm.py (python2.7)

在下面的实现中，LSTMLayer的参数包括输入维度、输出维度、隐藏层维度，单元状态维度等于隐藏层维度。gate的激活函数为sigmoid函数，输出的激活函数为tanh。

激活函数的实现

我们先实现两个激活函数：sigmoid和tanh。

   
   
   
   

    
    
    
    
class SigmoidActivator(object):
    
    
    
    
    def forward(self, weighted_input):
    
    
    
    
        return 1.0 / (1.0 + np.exp(-weighted_input))
    
    
    
    

    
    
    
    
    def backward(self, output):
    
    
    
    
        return output * (1 - output)
    
    
    
    

    
    
    
    

    
    
    
    
class TanhActivator(object):
    
    
    
    
    def forward(self, weighted_input):
    
    
    
    
        return 2.0 / (1.0 + np.exp(-2 * weighted_input)) - 1.0
    
    
    
    

    
    
    
    
    def backward(self, output):
    
    
    
    
        return 1 - output * output
   
   
   
   

LSTM初始化

和前两篇文章代码架构一样，我们把LSTM的实现放在LstmLayer类中。

根据LSTM前向计算和方向传播算法，我们需要初始化一系列矩阵和向量。这些矩阵和向量有两类用途，一类是用于保存模型参数，例如、、、、、、、；另一类是保存各种中间计算结果，以便于反向传播算法使用，它们包括、、、、、、、、、、，以及各个权重对应的梯度。

在构造函数的初始化中，只初始化了与forward计算相关的变量，与backward相关的变量没有初始化。这是因为构造LSTM对象的时候，我们还不知道它未来是用于训练（既有forward又有backward）还是推理（只有forward）。

   
   
   
   

    
    
    
    
class LstmLayer(object):
    
    
    
    
    def __init__(self, input_width, state_width, 
    
    
    
    
                 learning_rate):
    
    
    
    
        self.input_width = input_width
    
    
    
    
        self.state_width = state_width
    
    
    
    
        self.learning_rate = learning_rate
    
    
    
    
        # 门的激活函数
    
    
    
    
        self.gate_activator = SigmoidActivator()
    
    
    
    
        # 输出的激活函数
    
    
    
    
        self.output_activator = TanhActivator()
    
    
    
    
        # 当前时刻初始化为t0
    
    
    
    
        self.times = 0       
    
    
    
    
        # 各个时刻的单元状态向量c
    
    
    
    
        self.c_list = self.init_state_vec()
    
    
    
    
        # 各个时刻的输出向量h
    
    
    
    
        self.h_list = self.init_state_vec()
    
    
    
    
        # 各个时刻的遗忘门f
    
    
    
    
        self.f_list = self.init_state_vec()
    
    
    
    
        # 各个时刻的输入门i
    
    
    
    
        self.i_list = self.init_state_vec()
    
    
    
    
        # 各个时刻的输出门o
    
    
    
    
        self.o_list = self.init_state_vec()
    
    
    
    
        # 各个时刻的即时状态c~
    
    
    
    
        self.ct_list = self.init_state_vec()
    
    
    
    
        # 遗忘门权重矩阵Wfh, Wfx, 偏置项bf
    
    
    
    
        self.Wfh, self.Wfx, self.bf = (
    
    
    
    
            self.init_weight_mat())
    
    
    
    
        # 输入门权重矩阵Wfh, Wfx, 偏置项bf
    
    
    
    
        self.Wih, self.Wix, self.bi = (
    
    
    
    
            self.init_weight_mat())
    
    
    
    
        # 输出门权重矩阵Wfh, Wfx, 偏置项bf
    
    
    
    
        self.Woh, self.Wox, self.bo = (
    
    
    
    
            self.init_weight_mat())
    
    
    
    
        # 单元状态权重矩阵Wfh, Wfx, 偏置项bf
    
    
    
    
        self.Wch, self.Wcx, self.bc = (
    
    
    
    
            self.init_weight_mat())
    
    
    
    

    
    
    
    
    def init_state_vec(self):
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        初始化保存状态的向量
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        state_vec_list = []
    
    
    
    
        state_vec_list.append(np.zeros(
    
    
    
    
            (self.state_width, 1)))
    
    
    
    
        return state_vec_list
    
    
    
    

    
    
    
    
    def init_weight_mat(self):
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        初始化权重矩阵
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        Wh = np.random.uniform(-1e-4, 1e-4,
    
    
    
    
            (self.state_width, self.state_width))
    
    
    
    
        Wx = np.random.uniform(-1e-4, 1e-4,
    
    
    
    
            (self.state_width, self.input_width))
    
    
    
    
        b = np.zeros((self.state_width, 1))
    
    
    
    
        return Wh, Wx, b
   
   
   
   

前向计算的实现

forward方法实现了LSTM的前向计算：

   
   
   
   

    
    
    
    
    def forward(self, x):
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        根据式1-式6进行前向计算
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        self.times += 1
    
    
    
    
        # 遗忘门
    
    
    
    
        fg = self.calc_gate(x, self.Wfx, self.Wfh, 
    
    
    
    
            self.bf, self.gate_activator)
    
    
    
    
        self.f_list.append(fg)
    
    
    
    
        # 输入门
    
    
    
    
        ig = self.calc_gate(x, self.Wix, self.Wih,
    
    
    
    
            self.bi, self.gate_activator)
    
    
    
    
        self.i_list.append(ig)
    
    
    
    
        # 输出门
    
    
    
    
        og = self.calc_gate(x, self.Wox, self.Woh,
    
    
    
    
            self.bo, self.gate_activator)
    
    
    
    
        self.o_list.append(og)
    
    
    
    
        # 即时状态
    
    
    
    
        ct = self.calc_gate(x, self.Wcx, self.Wch,
    
    
    
    
            self.bc, self.output_activator)
    
    
    
    
        self.ct_list.append(ct)
    
    
    
    
        # 单元状态
    
    
    
    
        c = fg * self.c_list[self.times - 1] + ig * ct
    
    
    
    
        self.c_list.append(c)
    
    
    
    
        # 输出
    
    
    
    
        h = og * self.output_activator.forward(c)
    
    
    
    
        self.h_list.append(h)
    
    
    
    

    
    
    
    
    def calc_gate(self, x, Wx, Wh, b, activator):
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        计算门
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        h = self.h_list[self.times - 1] # 上次的LSTM输出
    
    
    
    
        net = np.dot(Wh, h) + np.dot(Wx, x) + b
    
    
    
    
        gate = activator.forward(net)
    
    
    
    
        return gate
   
   
   
   

从上面的代码我们可以看到，门的计算都是相同的算法，而门和的计算仅仅是激活函数不同。因此我们提出了calc_gate方法，这样减少了很多重复代码。

反向传播算法的实现

backward方法实现了LSTM的反向传播算法。需要注意的是，与backword相关的内部状态变量是在调用backward方法之后才初始化的。这种延迟初始化的一个好处是，如果LSTM只是用来推理，那么就不需要初始化这些变量，节省了很多内存。

   
   
   
   

    
    
    
    
    def backward(self, x, delta_h, activator):
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        实现LSTM训练算法
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        self.calc_delta(delta_h, activator)
    
    
    
    
        self.calc_gradient(x)
   
   
   
   

算法主要分成两个部分，一部分使计算误差项：

   
   
   
   

    
    
    
    
    def calc_delta(self, delta_h, activator):
    
    
    
    
        # 初始化各个时刻的误差项
    
    
    
    
        self.delta_h_list = self.init_delta()  # 输出误差项
    
    
    
    
        self.delta_o_list = self.init_delta()  # 输出门误差项
    
    
    
    
        self.delta_i_list = self.init_delta()  # 输入门误差项
    
    
    
    
        self.delta_f_list = self.init_delta()  # 遗忘门误差项
    
    
    
    
        self.delta_ct_list = self.init_delta() # 即时输出误差项
    
    
    
    

    
    
    
    
        # 保存从上一层传递下来的当前时刻的误差项
    
    
    
    
        self.delta_h_list[-1] = delta_h
    
    
    
    

    
    
    
    
        # 迭代计算每个时刻的误差项
    
    
    
    
        for k in range(self.times, 0, -1):
    
    
    
    
            self.calc_delta_k(k)
    
    
    
    

    
    
    
    
    def init_delta(self):
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        初始化误差项
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        delta_list = []
    
    
    
    
        for i in range(self.times + 1):
    
    
    
    
            delta_list.append(np.zeros(
    
    
    
    
                (self.state_width, 1)))
    
    
    
    
        return delta_list
    
    
    
    

    
    
    
    
    def calc_delta_k(self, k):
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        根据k时刻的delta_h，计算k时刻的delta_f、
    
    
    
    
        delta_i、delta_o、delta_ct，以及k-1时刻的delta_h
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        # 获得k时刻前向计算的值
    
    
    
    
        ig = self.i_list[k]
    
    
    
    
        og = self.o_list[k]
    
    
    
    
        fg = self.f_list[k]
    
    
    
    
        ct = self.ct_list[k]
    
    
    
    
        c = self.c_list[k]
    
    
    
    
        c_prev = self.c_list[k-1]
    
    
    
    
        tanh_c = self.output_activator.forward(c)
    
    
    
    
        delta_k = self.delta_h_list[k]
    
    
    
    

    
    
    
    
        # 根据式9计算delta_o
    
    
    
    
        delta_o = (delta_k * tanh_c * 
    
    
    
    
            self.gate_activator.backward(og))
    
    
    
    
        delta_f = (delta_k * og * 
    
    
    
    
            (1 - tanh_c * tanh_c) * c_prev *
    
    
    
    
            self.gate_activator.backward(fg))
    
    
    
    
        delta_i = (delta_k * og * 
    
    
    
    
            (1 - tanh_c * tanh_c) * ct *
    
    
    
    
            self.gate_activator.backward(ig))
    
    
    
    
        delta_ct = (delta_k * og * 
    
    
    
    
            (1 - tanh_c * tanh_c) * ig *
    
    
    
    
            self.output_activator.backward(ct))
    
    
    
    
        delta_h_prev = (
    
    
    
    
                np.dot(delta_o.transpose(), self.Woh) +
    
    
    
    
                np.dot(delta_i.transpose(), self.Wih) +
    
    
    
    
                np.dot(delta_f.transpose(), self.Wfh) +
    
    
    
    
                np.dot(delta_ct.transpose(), self.Wch)
    
    
    
    
            ).transpose()
    
    
    
    

    
    
    
    
        # 保存全部delta值
    
    
    
    
        self.delta_h_list[k-1] = delta_h_prev
    
    
    
    
        self.delta_f_list[k] = delta_f
    
    
    
    
        self.delta_i_list[k] = delta_i
    
    
    
    
        self.delta_o_list[k] = delta_o
    
    
    
    
        self.delta_ct_list[k] = delta_ct
   
   
   
   

另一部分是计算梯度：

   
   
   
   

    
    
    
    
    def calc_gradient(self, x):
    
    
    
    
        # 初始化遗忘门权重梯度矩阵和偏置项
    
    
    
    
        self.Wfh_grad, self.Wfx_grad, self.bf_grad = (
    
    
    
    
            self.init_weight_gradient_mat())
    
    
    
    
        # 初始化输入门权重梯度矩阵和偏置项
    
    
    
    
        self.Wih_grad, self.Wix_grad, self.bi_grad = (
    
    
    
    
            self.init_weight_gradient_mat())
    
    
    
    
        # 初始化输出门权重梯度矩阵和偏置项
    
    
    
    
        self.Woh_grad, self.Wox_grad, self.bo_grad = (
    
    
    
    
            self.init_weight_gradient_mat())
    
    
    
    
        # 初始化单元状态权重梯度矩阵和偏置项
    
    
    
    
        self.Wch_grad, self.Wcx_grad, self.bc_grad = (
    
    
    
    
            self.init_weight_gradient_mat())
    
    
    
    

    
    
    
    
       # 计算对上一次输出h的权重梯度
    
    
    
    
        for t in range(self.times, 0, -1):
    
    
    
    
            # 计算各个时刻的梯度
    
    
    
    
            (Wfh_grad, bf_grad,
    
    
    
    
            Wih_grad, bi_grad,
    
    
    
    
            Woh_grad, bo_grad,
    
    
    
    
            Wch_grad, bc_grad) = (
    
    
    
    
                self.calc_gradient_t(t))
    
    
    
    
            # 实际梯度是各时刻梯度之和
    
    
    
    
            self.Wfh_grad += Wfh_grad
    
    
    
    
            self.bf_grad += bf_grad
    
    
    
    
            self.Wih_grad += Wih_grad
    
    
    
    
            self.bi_grad += bi_grad
    
    
    
    
            self.Woh_grad += Woh_grad
    
    
    
    
            self.bo_grad += bo_grad
    
    
    
    
            self.Wch_grad += Wch_grad
    
    
    
    
            self.bc_grad += bc_grad
    
    
    
    
            print '-----%d-----' % t
    
    
    
    
            print Wfh_grad
    
    
    
    
            print self.Wfh_grad
    
    
    
    

    
    
    
    
        # 计算对本次输入x的权重梯度
    
    
    
    
        xt = x.transpose()
    
    
    
    
        self.Wfx_grad = np.dot(self.delta_f_list[-1], xt)
    
    
    
    
        self.Wix_grad = np.dot(self.delta_i_list[-1], xt)
    
    
    
    
        self.Wox_grad = np.dot(self.delta_o_list[-1], xt)
    
    
    
    
        self.Wcx_grad = np.dot(self.delta_ct_list[-1], xt)
    
    
    
    

    
    
    
    
    def init_weight_gradient_mat(self):
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        初始化权重矩阵
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        Wh_grad = np.zeros((self.state_width,
    
    
    
    
            self.state_width))
    
    
    
    
        Wx_grad = np.zeros((self.state_width,
    
    
    
    
            self.input_width))
    
    
    
    
        b_grad = np.zeros((self.state_width, 1))
    
    
    
    
        return Wh_grad, Wx_grad, b_grad
    
    
    
    

    
    
    
    
    def calc_gradient_t(self, t):
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        计算每个时刻t权重的梯度
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        h_prev = self.h_list[t-1].transpose()
    
    
    
    
        Wfh_grad = np.dot(self.delta_f_list[t], h_prev)
    
    
    
    
        bf_grad = self.delta_f_list[t]
    
    
    
    
        Wih_grad = np.dot(self.delta_i_list[t], h_prev)
    
    
    
    
        bi_grad = self.delta_f_list[t]
    
    
    
    
        Woh_grad = np.dot(self.delta_o_list[t], h_prev)
    
    
    
    
        bo_grad = self.delta_f_list[t]
    
    
    
    
        Wch_grad = np.dot(self.delta_ct_list[t], h_prev)
    
    
    
    
        bc_grad = self.delta_ct_list[t]
    
    
    
    
        return Wfh_grad, bf_grad, Wih_grad, bi_grad, \
    
    
    
    
               Woh_grad, bo_grad, Wch_grad, bc_grad
   
   
   
   

梯度下降算法的实现

下面是用梯度下降算法来更新权重：

   
   
   
   

    
    
    
    
    def update(self):
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        按照梯度下降，更新权重
    
    
    
    
        '''
    
    
    
    
        self.Wfh -= self.learning_rate * self.Whf_grad
    
    
    
    
        self.Wfx -= self.learning_rate * self.Whx_grad
    
    
    
    
        self.bf -= self.learning_rate * self.bf_grad
    
    
    
    
        self.Wih -= self.learning_rate * self.Whi_grad
    
    
    
    
        self.Wix -= self.learning_rate * self.Whi_grad
    
    
    
    
        self.bi -= self.learning_rate * self.bi_grad
    
    
    
    
        self.Woh -= self.learning_rate * self.Wof_grad
    
    
    
    
        self.Wox -= self.learning_rate * self.Wox_grad
    
    
    
    
        self.bo -= self.learning_rate * self.bo_grad
    
    
    
    
        self.Wch -= self.learning_rate * self.Wcf_grad
    
    
    
    
        self.Wcx -= self.learning_rate * self.Wcx_grad
    
    
    
    
        self.bc -= self.learning_rate * self.bc_grad
   
   
   
   

梯度检查的实现

和RecurrentLayer一样，为了支持梯度检查，我们需要支持重置内部状态：

   
   
   
   

    
    
    
    
    def reset_state(self):
    
    
    
    
        # 当前时刻初始化为t0
    
    
    
    
        self.times = 0       
    
    
    
    
        # 各个时刻的单元状态向量c
    
    
    
    
        self.c_list = self.init_state_vec()
    
    
    
    
        # 各个时刻的输出向量h
    
    
    
    
        self.h_list = self.init_state_vec()
    
    
    
    
        # 各个时刻的遗忘门f
    
    
    
    
        self.f_list = self.init_state_vec()
    
    
    
    
        # 各个时刻的输入门i
    
    
    
    
        self.i_list = self.init_state_vec()
    
    
    
    
        # 各个时刻的输出门o
    
    
    
    
        self.o_list = self.init_state_vec()
    
    
    
    
        # 各个时刻的即时状态c~
    
    
    
    
        self.ct_list = self.init_state_vec()
   
   
   
   

最后，是梯度检查的代码：

   
   
   
   

    
    
    
    
def data_set():
    
    
    
    
    x = [np.array([[1], [2], [3]]),
    
    
    
    
         np.array([[2], [3], [4]])]
    
    
    
    
    d = np.array([[1], [2]])
    
    
    
    
    return x, d
    
    
    
    

    
    
    
    
def gradient_check():
    
    
    
    
    '''
    
    
    
    
    梯度检查
    
    
    
    
    '''
    
    
    
    
    # 设计一个误差函数，取所有节点输出项之和
    
    
    
    
    error_function = lambda o: o.sum()
    
    
    
    

    
    
    
    
    lstm = LstmLayer(3, 2, 1e-3)
    
    
    
    

    
    
    
    
    # 计算forward值
    
    
    
    
    x, d = data_set()
    
    
    
    
    lstm.forward(x[0])
    
    
    
    
    lstm.forward(x[1])
    
    
    
    

    
    
    
    
    # 求取sensitivity map
    
    
    
    
    sensitivity_array = np.ones(lstm.h_list[-1].shape,
    
    
    
    
                                dtype=np.float64)
    
    
    
    
    # 计算梯度
    
    
    
    
    lstm.backward(x[1], sensitivity_array, IdentityActivator())
    
    
    
    

    
    
    
    
    # 检查梯度
    
    
    
    
    epsilon = 10e-4
    
    
    
    
    for i in range(lstm.Wfh.shape[0]):
    
    
    
    
        for j in range(lstm.Wfh.shape[1]):
    
    
    
    
            lstm.Wfh[i,j] += epsilon
    
    
    
    
            lstm.reset_state()
    
    
    
    
            lstm.forward(x[0])
    
    
    
    
            lstm.forward(x[1])
    
    
    
    
            err1 = error_function(lstm.h_list[-1])
    
    
    
    
            lstm.Wfh[i,j] -= 2*epsilon
    
    
    
    
            lstm.reset_state()
    
    
    
    
            lstm.forward(x[0])
    
    
    
    
            lstm.forward(x[1])
    
    
    
    
            err2 = error_function(lstm.h_list[-1])
    
    
    
    
            expect_grad = (err1 - err2) / (2 * epsilon)
    
    
    
    
            lstm.Wfh[i,j] += epsilon
    
    
    
    
            print 'weights(%d,%d): expected - actural %.4e - %.4e' % (
    
    
    
    
                i, j, expect_grad, lstm.Wfh_grad[i,j])
    
    
    
    
    return lstm
   
   
   
   

我们只对做了检查，读者可以自行增加对其他梯度的检查。下面是某次梯度检查的结果：

GRU

前面我们讲了一种普通的LSTM，事实上LSTM存在很多变体，许多论文中的LSTM都或多或少的不太一样。在众多的LSTM变体中，GRU (Gated Recurrent Unit)也许是最成功的一种。它对LSTM做了很多简化，同时却保持着和LSTM相同的效果。因此，GRU最近变得越来越流行。

GRU对LSTM做了两个大改动：

1. 将输入门、遗忘门、输出门变为两个门：更新门（Update Gate）和重置门（Reset Gate）。
2. 将单元状态与输出合并为一个状态：。

GRU的前向计算公式为：

下图是GRU的示意图：

GRU的训练算法比LSTM简单一些，留给读者自行推导，本文就不再赘述了。

小结

至此，LSTM——也许是结构最复杂的一类神经网络——就讲完了，相信拿下前几篇文章的读者们搞定这篇文章也不在话下吧！现在我们已经了解循环神经网络和它最流行的变体——LSTM，它们都可以用来处理序列。但是，有时候仅仅拥有处理序列的能力还不够，还需要处理比序列更为复杂的结构（比如树结构），这时候就需要用到另外一类网络：递归神经网络(Recursive Neural Network)，巧合的是，它的缩写也是RNN。在下一篇文章中，我们将介绍递归神经网络和它的训练算法。现在，漫长的烧脑暂告一段落，休息一下吧:)

参考资料

1. CS224d: Deep Learning for Natural Language Processing
2. Understanding LSTM Networks
3. LSTM Forward and Backward Pass