动态规划算法

我们先来看一个题目：有一座高度是10级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法。

很显然可以使用暴力破解求出所有的排列组合，但是时间复杂度是指数级的。

这里很显然使用动态规划是最合适的！那到底什么是动态规划呢？

动态规划的英文名是Dynamic Programming，是一种分阶段求解决策问题的数学思想。它不仅用于编程领域，也应用于管理学、经济学、生物学。总结起来就是一句话：大事化小，小事化了。

用刚才的题目来详细说明：

假设你只差最后一步就走到第10级台阶，这时候会出现几种情况？很显然是2种，题目要求一步只许走一级或2级台阶，一种情况是从第9级走到第10级，另一种是从第8级走到第10级。所以，暂且不管0到8级台阶是怎么走的，也不管0到9级台阶是怎么走的，想要走到第10级台阶，最后一步必然是从第8级或第9级开始。

接下来引申出一个新的问题，如果我们已知0到9级台阶的走法有X种，0到8级台阶的走法有Y种，那么0到10级台阶的走法就是X+Y种。（不明白的可以看括号解释：第一种情况从9级到10级的走法数量和0到9级的走法数量是相等的，所以是X；第二种情况从8级到10级的走法数量又和0到8级的走法数量是相等的，所以是Y）。思路如下图：

推断到这就可以得出一个结论：从0到10级台阶的走法数量 = 0到9级台阶的走法数量 + 0到8级台阶的走法数量。我们将0到10级的走法数量记为F(10); 则 F(10) = F(9) + F(8)。那么，我们如何计算F(9)和F(8)呢？利用刚才的思路继续推断，F(9) = F(8) + F(7)，F(8) = F(7) + F(6)。这样，把一个复杂的问题分阶段进行简化，逐步简化成简单的问题，这就是动态规划的思想。所以当只有1级台阶和2级台阶的时候有几种走法呢？显然分别是1和2，所以我们可以归纳出如下的公式：

F(1) = 1; 

F(2) = 2; 

F(n) = F(n-1) + F(n-2)  n>2

动态规划中包含三个重要的概念，最优子结构、边界、状态转移公式。刚才我们分析出F(10) = F(9) + F(8)，所以F(9) 和 F(8)是F(10)的最优子结构，当只有1级台阶或2级台阶时，我们可以直接得出结果，无需进行简化。我们称F(1)和F(2)是问题的边界。如果一个问题没有边界，将永远无法得到有限的结果。F(n) = F(n-1) + F(n-2)是阶段与阶段间的状态转移方程，这是动态规划的核心，决定了问题的每一个阶段和下一个阶段的关系。

但是到目前为止，我们只完成了动态规划的前半部分：问题建模。下面才是真正麻烦的阶段：求解问题。

其实已经归纳出了F(n) = F(n-1) + F(n-2)，又知道了递归结束的条件，我们可以直接用递归的思路写程序。但是该方法手段时间复杂度指数级的。如下图

这是一棵二叉树，树的节点个数就是我们的递归方程所需要计算的次数。不难看出，这棵二叉树的高度是N-1，节点个数接近2的N-1次方。所以方法的时间复杂度可以近似地看作是O（2^N）。其实回顾下刚才的递归图，有些相同的参数被重复计算了，越往下走，重复的越多。

如图所示，相同的颜色代表了方法被传入相同的参数。当然我们也可以使用例如哈希表之类的数据结构存储这些结果，就可以避免了重复计算。但是今天我们要学的是动态规划，那么怎么用动态规划来解决呢？

刚才的思路是对F(N)自顶向下做递归运算，现在我们试着用自底向上迭代的方式来推导。

这里我们使用表格来说明求解的过程。

表格的第一行代表了楼梯台阶的数目，第二行代表了若干级台阶对应的走法数。F(1) = 1;   F(2) = 2;是之前就已经明确过的结果。

第一次迭代，台阶数等于3时，走法数量是3.。这个结果是F(1)、F(2)这两个结果相加得到的。所以F(3)只依赖于F(1)、F(2)。

同理第二次迭代，F(4)只依赖于F(2)和F(3)。同理可以继续往下推.........

由此可见，每一次迭代过程中，只要保留之前的两个状态，就可以推导出新的状态。不需要保存下全部的子状态。

这就是动态归回的实现。下面给出代码：

这个方法的时间复杂度显然是O(N)，由于只引入了两三个变量，所以空间复杂度只有O(1)。

所以，利用动态规划来解决，可以实现时间和空间上的最优化。当然这里只是举个最简单的例子，来理解动态规划的含义。

我们来看下一个题目：

有一个国家发现了5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人数也不同。参与挖矿工人的总数是10人。每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金矿。要求用程序求解出，要想得到尽可能多的黄金，应该选择挖取哪几座金矿？

很显然，这道题使用排列组合也可以解决，但是时间复杂度依然是指数级的O(2^N)。

动态规划有三个核心元素：最优子结构、边界、状态转移方程式。本题的最优子结构是针对4个金矿（减掉一个），考虑两种情况，一种是第5个金矿选择不挖，那么此时人数依旧是10；另一种是选择挖，那剩余人数就是10-3=7人。

找到了最优子结构，那么我们来分析一下最优子结构和最终问题的关系。换句话说，4个金矿的最优选择和5个金矿的最优选择直接，是什么样的关系？显然5个金矿的最优选择，就是（前4座金矿10工人的挖金数量）和（前4座金矿7工人的挖金数量+第5座金矿的挖金数量）的最大值。这里我们为了便于描述，把金矿数量设为N，工人数设为W，金矿的黄金量设为数组G[ ]，金矿的用工量设为数组P[ ]。那么5座金矿和4座金矿的最优选择之间存在这样的关系，F(5,10)=MAX( F(4,10)，F(4,10-p[4])+G[4] )。

现在我们确定下该问题的边界是什么？显然边界也有两种情况，用公式来表达：

当N=1，W>=P[0]时，F(N,W) = G[0]；

当N=1，W

整理一下就能能到问题的状态转移方程式：

F(n,w) = 0 (n<=1, w

F(n,w) = g[0] (n==1, w>=p[0]);

F(n,w) = F(n-1,w) (n>1, w

F(n,w) = max(F(n-1,w), F(n-1,w-p[n-1])+g[n-1]) (n>1, w>=p[n-1])。

至此，动态规划建模工作已经完成，现在我们看一下怎么实现。

首先考虑第一个金矿的情况，是400金，5个工人。所以前4个格子都是0，因为人数不够。后面的格子都是400，因为只有这一座金矿可挖。

第2座金矿有500黄金，需要5工人。因为W<5，所以F(N,W) = F（N-1，W） = 0，所以前4个格子都是0。

考虑第二行后6个格子，因为F(N,W) =MAX( F(N-1,W), F(N-1,W-5)+500)，所以第5-9个格子的值是500。需要注意的是第 2行的第10个格子，也就是N=2，W=10的时候，F（N-1，W）=400，F（N-1，W-5）=400，Max（400,400+500）=900。

第3座金矿有200黄金，需要三个工人，第三行的计算方法如出一辙。

第4座金矿有300黄金，需要4工人，第5座金矿有350黄金，需要3工人。计算方法同上。

从表中可以看出一些规律，除了第一行以外，每个格子都是前一行的一个或两个格子推导而来。比如3金矿8工人的结果，就来自2金矿5工人和2金矿8工人，MAX（500,500+200）=700.

我们在使用程序实现的时候，也可以像这样从左至右，从上到下一格一格推导出最终结果。不需要存储整个表格，只需要存储前一行的结果，就可以推导出新的一行。下面看一下代码实现：

方法利用两层迭代，来逐步推导出最终结果。在外层的每一次迭代，也就是对表格每一行的迭代过程中，都会保留上一行的结果数组 preResults，并循环计算当前行的结果数组results。

方法的时间复杂度是 O(n * w)，空间复杂度是(w)。需要注意的是，当金矿只有5座的时候，动态规划的性能优势还没有体现出来。当金矿有10座，甚至更多的时候，动态规划就明显具备了优势。

至此，这道题目已经解决了。但是，如果我们将题目改一下，总工人数变成1000人，每个金矿的用工数也相应增加，这时候如果继续使用动态规划来解决就会发现所需的时间复杂度O（n*w），空间复杂度是O（w）.显然在n=5，w=1000的时候要计算5000次，开辟1000单位的空间。而如果使用递归来解决，时间复杂度是O（2^n），需要计算32次，开辟5单位（递归深度）的空间。这里我们可以看出，动态规划方法的时间和空间都和W成正比，而简单递归却和W无关，所以当工人数量很多的时候，动态规划反而不如递归。