机器学习05-神经网络学习

代价函数

符号定义

假设我们有一个下图所示的神经网络

• 该网络有 m 个训练集 $\{(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})\}$
• L 表示该网络的层数，图中 L = 4
• $s_l$ 表第 l 层的神经元数目，$s_1=3,s_2=s_3=5,s_4=s_l=4$
  

对于神经网络，考虑二分类和一对多两种情况：

• 对于二分类，$y=0or1$，只需要一个输出单元即可，即 $s_l=1$
• 对于一对多，$y\in {\mathcal{R}}^K$，例如 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$，$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$，$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$，$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$，需要 K 个输出单元，$s_l=k(k\ge 3,k=1or2时只需一个输出单元)$。

代价函数

在二分类的逻辑函数中，我们定义代价函数为：

$$J(\theta )=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}log(h_{\theta }(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})log(1-h_{\theta }(x^{(i)}))]+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$$

对于一对多问题$h_{\theta }(x)\in {\mathcal{R}}^K$，我们定义代价函数为：

$$J(\theta )=-\frac{1}{m}[\sum _{i=1}^m\sum _{k=1}^K{y}_k^{(i)}log(h_{\theta }(x^{(i)}){)}_k+(1-y_k^{(i)})log(1-(h_{\theta }(x^{(i)})){)}_k]+\frac{\lambda }{2m}\sum _{l=1}^{L-1}\sum _{i=1}^{s_l}\sum _{j=1}^{s_{l+1}}({\theta }_{ji}^{(i)}{)}^2$$
其中 $h_{\theta }(x{)}_i$ 表示第 i 个输出
上式的第二项类似于逻辑回归中的正则化项，由于我们不对偏差项（即 i = 0 的项）进行正则化，故 i 从 1 开始取值。

补充：神经网络的模型表示

我们引入一些符号来描述模型：

• $a_i^{(j)}$ 表示第 j 层的第 i 个激活单元
• ${\theta }^{(j)}$ 代表从第 j 层映射到第 j+1 层时的权重的矩阵，例如代表从第一层映射到第二层的权重的矩阵。其尺寸为：以第 j+1 层的激活单元数量为行数，以第 j 层的激活单元数加一为列数的矩阵。例如：上图所示的神经网络中 ${\theta }^{(1)}$ 的尺寸为 3*4。

对于上图所示的模型，激活单元和输出分别表达为：

$$a_1^{(2)}=g({\theta }_{10}^{(1)}{x}_0+{\theta }_{11}^{(1)}{x}_1+{\theta }_{12}^{(1)}{x}_2+{\theta }_{13}^{(1)}{x}_3)$$

$$a_2^{(2)}=g({\theta }_{20}^{(1)}{x}_0+{\theta }_{21}^{(1)}{x}_1+{\theta }_{22}^{(1)}{x}_2+{\theta }_{23}^{(1)}{x}_3)$$

$$a_3^{(2)}=g({\theta }_{30}^{(1)}{x}_0+{\theta }_{31}^{(1)}{x}_1+{\theta }_{32}^{(1)}{x}_2+{\theta }_{33}^{(1)}{x}_3)$$

$$h_{\theta }(x)=g({\theta }_{10}^{(2)}{a}_0^{(2)}+{\theta }_{11}^{(2)}{a}_1^{(2)}+{\theta }_{12}^{(2)}{a}_2^{(2)}+{\theta }_{13}^{(2)}{a}_3^{(2)})$$

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反向传播算法

我们以下图这个神经网络为例：

把任意神经元上的误差定义为 ${\delta }_j^{(l)}=\frac{\partial J(\theta )}{\partial z^{(l)}}$

则 ${\delta }_j^{(4)}=a_j^{(4)}-y_j=(h_{\theta }(x){)}_j-y_j$

手打公式太麻烦，直接上图

反向传播算法流程：

• 对于训练集 $\{(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})\}$
• 对所有 l, i, j，初始化 ${\Delta }_{ij}^{(l)}=0$
• for i = 1 to m :（即遍历训练集）
  • 令 $a^{(1)}=x^{(i)}$
  • 利用前向传播算法计算 $a^{(l)}$，for l = 2 to L
  • 利用 $y^{(i)}$，计算输出层误差 ${\delta }^{(L)}=a^{(L)}-y^{(i)}$
  • 计算 ${\delta }^{(L-1)},{\delta }^{(L-2)},...,{\delta }^{(2)}$
  • 累加 ${\Delta }_{ij}^{(l)},{\Delta }_{ij}^{(l)}:={\Delta }_{ij}^{(l)}+a_j^{(l)}{\delta }_i^{(l+1)}$
• 计算梯度矩阵：$D_{ij}^{(l)}=\{\begin{array}{l}\frac{1}{m}{\Delta }_{ij}^{(l)}+\frac{\lambda }{m}{\theta }_{ij}^{(l)}ifj\ne 0\\ \frac{1}{m}{\Delta }_{ij}^{(l)}ifj=0\end{array}$
• 更新权值 ${\theta }^{(l)}:={\theta }^{(l)}+\alpha D^{(l)}$

参考：
https://blog.csdn.net/xuan_liu123/article/details/83660316

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理解反向传播算法

对于输出层，假设代价误差 ${\delta }_1^{(4)}=y^{(i)}-a_1^{(4)}$
接下来便可根据 ${\delta }_1^{(4)}$ 利用方向传播算法计算出其他代价误差值，例如：
$${\delta }_2^{(2)}={\Theta }_{12}^{(2)}{\delta }_1^{(3)}+{\Theta }_{22}^{(2)}{\delta }_2^{(3)}$$

$${\delta }_2^{(3)}={\Theta }_{12}^{(3)}{\delta }_1^{(4)}$$

注：这些 $\delta$ 只包含隐藏单元，不包括偏置项，这取决于对反向传播的定义及实现算法的方式，也可以用其他方式来计算包含偏置项的 $\delta$ 值

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梯度检测

由于反向传播算法有很多细节，实现起来比较困难，并且很容易产生一些 bug，当它与梯度下降算法或是其他一些算法一起工作时，看起来能够正常工作且代价函数 $J(\theta )$ 在每次迭代后都下降，但得到的神经网络其误差可能比没有 bug 时高了一个数量级。为了解决这个问题，采用了梯度检验。梯度检验能保证前向传播和反向传播是百分百正确的。

举个关于梯度检验的例子：
假设有一个代价函数 $J(\theta )$，某一点 $\theta \in R$ 在 $J(\theta )$ 的导数为 $J(\theta )$ 在该点的斜率，也可以通过极限逼近法来求：
$$\frac{dJ(\theta )}{d\theta }=\frac{J(\theta +\epsilon )-J(\theta -\epsilon )}{2\epsilon }$$

理论上，当 $\epsilon$ 足够小时，上式可以代表该点的导数，但若 $\epsilon$ 太小，会引起很多数值上的问题，一般取 $\epsilon =10^{-4}$。

对于任何参数 $\theta ={\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_n$，其代价函数的所有偏导数项可以表示为：
$$\frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_1}=\frac{J({\theta }_1+\epsilon ,{\theta }_2,...,{\theta }_n)-J({\theta }_1-\epsilon ,{\theta }_2,...,{\theta }_n)}{2\epsilon }$$

$$\frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_2}=\frac{J({\theta }_1,{\theta }_2+\epsilon ,...,{\theta }_n)-J({\theta }_1,{\theta }_2-\epsilon ,...,{\theta }_n)}{2\epsilon }$$

$$⋮$$

$$\frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_n}=\frac{J({\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_n+\epsilon )-J({\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_n-\epsilon )}{2\epsilon }$$

将计算出的导数或偏导数与反向传播中得到的梯度进行比较，如果结果非常相近的话（差几个小数点），则说明反向传播的实现是正确的。

如何实现数值上的梯度检验：

• 通过反向传播计算梯度矩阵 $D^{(1)},D^{(2)},D^{(3)}$；
• 使用梯度检验法计算梯度；
• 比较两者的结果是否相近；
• 在网络学习中使用反向传播算法，关闭梯度检验，因为梯度检验非常的耗时，相比之下，反向传播要快很多。

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随机初始化

对于梯度下降算法或者其他更高级的算法，需要为变量 $\theta$ 设置一个初始值，这个初始值应该如何设置，能够将 $\theta$ 全都初始化为0？

以下图的神经网络为例，假设将所有的权重都初始化为 0，则有 $a_1^{(2)}=a_2^{(2)}，{\delta }_1^{(2)}={\delta }_2^{(2)}$
对于偏导数，有 $\frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_{10}^{(1)}}=\frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_{20}^{(1)}}$，更新权重之后，仍有 ${\theta }_{10}^{(1)}={\theta }_{20}^{(1)}$，这意味着在进行梯度迭代之后，仍有 $ a_1^{(2)} = a_2^{(2)}$。
假设我们不止有两个隐藏神经元，而是有很多，也就是说很多的神经元都在计算相同的特征，很多的神经元都以相同的函数作为输入，这是一种高度冗余的方法，意味着最后的逻辑回归单元只能得到一个特征。

因此，在进行初始化，采用随机初始化的方法，将权重随机初始化为接近 0，范围在 $(-\epsilon ,\epsilon )$ 的数。

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组和到一起

在进行神经网络训练时，要先选择一个网络架构，即有多少个输入，多少个输出，确定隐藏层数量和隐藏层单元数数量。

• 输入单元数量：输入特征 $x^{(i)}$ 的维度
• 输出单元数量：类别的数量，如判定是行人、摩托还是汽车，则输出单元数量为3（独热编码）
• 隐藏层：默认只有一个隐藏层，若不止一个隐藏层，默认每个隐藏层的隐藏单元数量相同。隐藏层数量和隐藏层单元数太多会使训练变慢，但总的来说还是越多越好。

训练神经网络步骤：

• 构建网络架构，随机初始化权重，一般初始化为接近 0 的数；
• 实施前向传播为每个输入 $x^{(i)}$ 计算 $h_{\theta }(x^{(i)})$；
• 计算代价函数 $J(\theta )$；
• 利用反向传播计算偏导数 $\frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_{jk}^{(l)}}$，至此我们就可以得到每一层的激励 $a^{(l)}$ 和 delta值 ${\delta }^{(l)}$；
• 使用梯度检验计算出偏导数，并与通过反向传播计算出的值进行比较，比较完后，关闭梯度检验；
• 使用梯度下降算法或其他高级算法求出使得 $J(\theta )$ 最小的 $\theta$ 的值。

神经网络中的梯度下降算法

原理：从某个随机初始点开始不停的往下降，反向传播算法的目的是算出梯度下降的方向，而梯度下降算法的作用是沿着这个方向一点点往下降，直到我们希望得到的点。