正定矩阵的特点(一)

正交矩阵

对于一个矩阵$Q$ 若其为正交矩阵则有
$Q{Q}^T=E$
$E$ 是单位矩阵

矩阵的特征分解

对于一个矩阵其特征值来说，有以下基本条件：
$Av=\lambda v$
同样我们可以得到矩阵的特征值分解
$A=Q\Sigma Q^{-1}$
其中$Q$是正交矩阵，只需证明矩阵对应不同特征值的特征向量之间相互正交即可，证明：
对于对称正定矩阵$A$的两个特征值$\tau \xi$有
$Aq=\tau q$ ,$Ap=\xi p$
$q^{t}Ap=q^t(Ap)=\xi q^{t}p$
同时 $q^{t}Ap=(q^{t}A)p=(A^{t}q{)}^{t}p=(Aq{)}^{t}p=\tau q^{t}p$
即有$\xi q^{t}p=\tau q^{t}p$ 因为$\xi ̸=\tau$则$q^{t}p=0$即两个特征向量之间是相互正交的

矩阵相似

矩阵$A$和$B$相似的条件为：
$A=Q^{-1}BQ$
对于相似矩阵其特征值相同原因：
$$Ax=\xi x$$
$$Q^{-1}BQx=\xi x$$
$$BQx=\xi Qx$$
则两矩阵特征值相同

正定矩阵的定义

广义：设$M$ 为N阶方阵对任意非零向量 $x$ 有 $xM{x}^T>0$ 则称$M$是正定矩阵
狭义：对于n阶实对称矩阵$M$，当且仅当对于所有非零实系数向量$z$，都有$z^{T}Mz>0$

正定矩阵乘积的特征值

对于正定矩阵$A,B$，由于$A$是正定矩阵$A=P^2$
$$AB=PPB=P(PBP)P^{-1}$$
即$AB$相似与$PBP$，则其特征值相同则后者正定。则$AB$的特征值大于零

KaTeX数学公式

您可以使用渲染LaTeX数学表达式 KaTeX:

Gamma公式展示 $\Gamma (n)=(n-1)!\forall n\in \mathbb{N}$ 是通过欧拉积分

$$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt.$$

你可以找到更多关于的信息 LaTeX 数学表达式[here][1].