LOJ#6511. 「雅礼集训 2018 Day8」B【线性规划对偶问题，费用流】
题目描述：
题目分析：
求最大费用可行流即可。路径的长度指路径上的 t i t_i ti之和。
对偶理论：
变量非负，约束不等式同号，下面这张图截自百度百科对偶理论
LOJ上有不二分的做法，8是太懂。。虽然上面这个做法也很玄学 （Upd，后文补充了）
Upd：更好的理解体验请阅读 2016国家集训队论文《浅谈线性规划与对偶问题》
Code：
#includeUpd：LP对偶费用流解法
听完dls的LP对偶费用流归来啦！（虽然还有点迷糊）
线性规划
minimize ∑ c ( u , v ) max ( h u − h v + w ( u , v ) , 0 ) \text{minimize} \sum c(u,v)\max(h_u-h_v+w(u,v),0) minimize∑c(u,v)max(hu−hv+w(u,v),0)
可以转化为最大费用循环流， u u u 向 v v v 连流量为 c ( u , v ) c(u,v) c(u,v)，费用为 w ( u , v ) w(u,v) w(u,v) 的边，其中 h h h 为自己定义的 ≥ 0 \ge 0 ≥0 的变量。
具体证明可以根据最大费用循环流的线性规划模型对偶回去，网上也有。
我们把 u u u 点安装完成的时间设为 T u T_u Tu，减少时间设为 δ u \delta_u δu，那么限制条件就是 T v ≥ T u + t v − δ v T_v\ge T_u+t_v-\delta_v Tv≥Tu+tv−δv。
二分答案之后我们想要最小化 ∑ δ v ∗ c v \sum \delta_v*c_v ∑δv∗cv，但是 δ v \delta_v δv 的限制条件有多个，无法取等，把点拆成两个： x u x_u xu 和 y u y_u yu，分别表示前面所有安装包安装完成的时间，和 u u u 安装完成的时间。
最开始的问题可以表述为：
minimize y e n d s.t. y v − x v − t v + δ v ≥ 0 y u ≤ x v δ v ≤ t v ∑ δ v ∗ c v ≤ w \text{minimize} ~y_{end}\\ \text{s.t.}~~~~~y_v-x_v-t_v+\delta_v\ge 0\\ y_u\le x_v\\ \delta_v\le t_v\\ \sum \delta_v*c_v\le w minimize yends.t. yv−xv−tv+δv≥0yu≤xvδv≤tv∑δv∗cv≤w
二分答案 λ \lambda λ，问题转化为：
minimize ∑ δ v ∗ c v s.t. y v − x v − t v + δ v ≥ 0 y u ≤ x v δ v ≤ t v y v ≤ λ \text{minimize} \sum\delta_v*c_v\\ \text{s.t.}~~~~~y_v-x_v-t_v+\delta_v\ge 0\\ y_u\le x_v\\ \delta_v\le t_v\\ y_v\le \lambda minimize∑δv∗cvs.t. yv−xv−tv+δv≥0yu≤xvδv≤tvyv≤λ
最优情况下 δ v = max ( x v − y v + t v , 0 ) \delta_v=\max(x_v-y_v+t_v,0) δv=max(xv−yv+tv,0)
因为是最小化，所以 y u ≤ x v y_u\le x_v yu≤xv 可以用 ∞ ∗ max ( y u − x v , 0 ) \infty*\max(y_u-x_v,0) ∞∗max(yu−xv,0) 的代价来表示。
δ v ≤ t v \delta_v\le t_v δv≤tv 即 x v ≤ y v x_v\le y_v xv≤yv，代价为 ∞ ∗ max ( x v − y v , 0 ) \infty*\max(x_v-y_v,0) ∞∗max(xv−yv,0)
为了方便，我们新建两个点 S , T S,T S,T， S ≤ x v S\le x_v S≤xv， y v ≤ T y_v\le T yv≤T，分别为 ∞ ∗ max ( S − x v , 0 ) \infty*\max(S-x_v,0) ∞∗max(S−xv,0)， ∞ ∗ max ( y v − T , 0 ) \infty*\max(y_v-T,0) ∞∗max(yv−T,0)，实际上这也是在框定 x v , y v x_v,y_v xv,yv 的范围。
y v ≤ λ y_v\le \lambda yv≤λ 即 T − S ≤ λ T-S\le \lambda T−S≤λ，权值为 ∞ ∗ max ( T − S − λ , 0 ) \infty*\max(T-S-\lambda,0) ∞∗max(T−S−λ,0)
于是我们相当于是要最小化：
∑ v c v ∗ max ( x v − y v + t v , 0 ) + ∞ ∗ max ( x v − y v , 0 ) + ∞ ∗ max ( S − x v , 0 ) + ∞ ∗ max ( y v − T , 0 ) + ∑ ( u , v ) ∈ E ∞ ∗ max ( y u − x v , 0 ) + ∞ ∗ max ( T − S − λ , 0 ) \sum_v c_v*\max(x_v-y_v+t_v,0)+\infty*\max(x_v-y_v,0)+\infty*\max(S-x_v,0)+\infty*\max(y_v-T,0)\\ +\sum_{(u,v)\in E}\infty*\max(y_u-x_v,0)\\ +\infty*\max(T-S-\lambda,0) v∑cv∗max(xv−yv+tv,0)+∞∗max(xv−yv,0)+∞∗max(S−xv,0)+∞∗max(yv−T,0)+(u,v)∈E∑∞∗max(yu−xv,0)+∞∗max(T−S−λ,0)
对比LP费用流的形式即可得出要建的边。
此时跑出的最大费用循环流的费用就是要求的最小值。
观察这个图，每个最大费用的循环流相当于是从 S S S 出发，走到 T T T，然后回到 S S S，产生一些费用。
原问题相当于想要最小化 λ \lambda λ，使得最大费用循环流 ≤ w \le w ≤w，假设除了 T T T 到 S S S 的边流 i i i 的流量的费用是 f i f_i fi，那么真实的费用是 f i − i λ f_i-i\lambda fi−iλ，于是就是最小化 λ \lambda λ，使得 max ( f i − i λ ) ≤ w \max(f_i-i\lambda)\le w max(fi−iλ)≤w。
即对于任意的 i i i，都要满足 λ ≥ f i − w i \lambda\ge \frac {f_i-w}i λ≥ifi−w，即找到最大的 f i − w i \frac {f_i-w}i ifi−w
这个可以表示为平面上 ( i , f i ) (i,f_i) (i,fi) 与 ( 0 , w ) (0,w) (0,w) 的最大斜率， f i f_i fi 的图像是个凸包，最大值一定在端点取到，所以多路增广是OK的。