通信原理之考前突击

第一章

通信系统一般模型及其组成

• 各部分的作用如下：
  • 信源：把消息转换成原始的电信号，完成非电/电的转换。
  • 信宿：把复原的电信号转换成相应的消息。
  • 信源编码：进行模/数转换。信源解码：信源编码的逆过程
  • 信道编码：将数字信号变成合适于信道传输的码型。
  • 信道解码：信道编码的反变换。
  • 调制：把各种数字基带信号转换成适应于信道传输的数字频带信号。
  • 解调：调制的逆变换。
  • 信道：信号传输的通道（媒质）。

傅里叶变换

$$F\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)e^{-j\omega t}\text{d}t=\hat{F}[f(t)]$$

$$f(t)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega ={\hat{F}}^{-1}[F(\omega )]$$

• $f(t)\leftrightarrow F(\omega )$称为傅里叶变换对
• $F(\omega )$称为$f(t)$的频谱函数

对称性

若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega )$则$F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega )$

叠加性

若$F[f_1(t)]=F_1(\omega ),F[f_2(t)]=F_2(\omega )$

则 $a_1{f}_1(t)+a_2{f}_2(t)\leftrightarrow a_1{F}_1(\omega )+a_2{F}_2(\omega )$

单位冲激函数

• 定义$\delta (t)=\{\begin{array}{l}0,t\ne 0\\ \infty ,t=0\end{array}$
• 且${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$
• $\delta (t)\leftrightarrow 1$
• $1\leftrightarrow 2\pi \delta (\omega )$

抽样性

${\int }_{0^{-}}^{0^{+}}\phi (t)\delta (t)dt=\phi (0){\int }_{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)dt=\phi (0)\delta (t_0)$

总结

• 时域－－冲击，频域－－常数；
• 时域－－常数，频域－－冲击。

例题

定义下列运算为函数的卷积运算：$f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$

求：$f(t)\ast \delta (t-t_0)$

解：由已知$f(t)\ast \delta (t-t_0)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-t_0-\tau )d\tau$

令$t-t_0-\tau =0$，所以冲击点为$\tau =t-t_0$，则$f(t)\ast \delta (t-t_0)=f(t-t_0)$

抽样函数

$Sa(t)=\frac{sint}{t}$

门函数

$Rect(t)$也记做$G_{\tau }(t)$称为门函数。表示脉宽为$\tau$的矩形方波。

$G_{\tau }(t)\leftrightarrow \tau Sa(\frac{\pi \tau }{2})$

载波函数

例题

卷积定理

• 时域：若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(\omega ),f_2(t)\leftrightarrow F_2(\omega )$则$f_1(t)\ast f_2(t)\leftrightarrow F_1(\omega )\cdot F_2(\omega )$
• 频域：若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(\omega ),f_2(t)\leftrightarrow F_2(\omega )$则$f_1(t)\cdot f_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi }{F}_1(\omega )\ast F_2(\omega )$

信息量

信息量定义

信息量与消息发生的概率有关，设消息xi出现的概率为p(xi)，则xi所含的信息量为：

• $I(xi)=lo{g}_2(1/p(xi))=-lo{g}_2(p(xi))$ (比特bit)
• $I(xi)=lo{g}_e(1/p(xi))=-lo{g}_e(p(xi))$(奈特nit)
• $I(xi)=lg(1/p(xi))=-lg(p(xi))$ (哈特莱 hatlit)
• 必然事件的概率为1，即信息量为0。

平均信息量/信息源的熵

定义

离散消息的平均信息量指每个符号所含信息量的统计平均值

计算公式

• 离散：$H(X)=-{\sum }_{i=1}^{n}P(x_i)lo{g}_{2}P(x_i)$
• 连续：$H(X)=-{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)lo{g}_{a}f(x)dx$

信息速率/信息传输速率/传信率

定义

单位时间传输的信息量，单位为bit/s、kb/s、Mb/s、Gb/s或bps、kbps、Mbps、Gbps。

• 1kb=1000b,1Mb=1000kb,1Gb=1000Mb
• 1KB=1024B,1MB=1024KB,1GB=1024MB

码元传输速率\码元速率\传码率

定义

单位时间传输的码元个数，单位为波特(Baud)

• 对二进制码元，1码元的信息量为1 bit。传信率＝传码率
• 对M进制码元，1码元的信息量为$lo{g}_{2}M(bit)$。$传信率R_b＝传码率R_B\times lo{g}_{2}M$ 。

信道容量

定义

单位时间内信道上所能传输的最大信息量，即信道的最大信息传输速率，单位：bit/s。

香农定理

对于一个给定的有扰信道，若信息源的信息发出速率R≤ 信道容量C，则理论上存在一种方法可使信息以任意小的差错概率通过该信道传输。反之，若R>C，则该信道将无法正确传递该信息。

香农公式

$$C=Blb(1+\frac{S}{N})(bit/s)$$

• C为信道容量（bit/s或b/s）
• B为信道带宽（Hz）
• S/N是系统的输出信噪比

公式说明

• C与B、S、N相关。
• S/N↗→ C↗。
• 在保持C不变的情况下，B↗时可S/N↘；S/N↗时可允许B↘。
• $C\propto B$，但$B\to \infty$时，C并不$\to \infty$

多路复用

1. 频分复用FDM

   通过调制技术将多路信号分别调制到频谱互不重叠的频带上，同时传输的一种多路复用方式。

   信号时间上重叠，频谱互不重叠

2. 时分复用TDM

   通过脉冲调制等技术将多路信号分时在信道上传输的一种多路复用方式。
   信号频率上重叠，时间上互不重叠

3. 码分复用CDM

   通过一种特殊的调制技术将多路信号变为传输码型不同的信号的一种多路复用方式。
   多路信号在时间上、频率上均重叠，码型不同
   

通信系统性能评价指标（可靠性+有效性）

• 模拟通信系统的主要性能指标：
  • 有效性——系统的传输带宽；
  • 可靠性——接收端输出的信噪比。
• 数字通信系统的主要性能指标
  • 有效性——信息传输速率$R_b$（比特率b/s或bps）
    码元传输速率$R_B$（波特率Baud）$Rb=RBlo{g}_{2}M$
  • 可靠性——误码率$P_s$、误信率$P_b$（误比特率）
    误码率$P_s$=错误的码元数/传输的总码元数
    误信率$P_b$=错误的比特数/传输的总比特数