CodeForces 235 E.Number Challenge（莫比乌斯反演+数论）
Description
求 ∑i=1a∑j=1b∑k=1cd(ijk),a,b,c≤2000
Input
三个整数 a,b,c(1≤a,b,c≤2000)
Output
输出结果模 1073741824
Sample Input
2 2 2
Sample Output
20
Solution
首先证明两个结论：
1 . d(mn)=∑i|m∑j|n[(i,j)=1]
设 m=pa11pa22...paxx,n=pb11pb22...pbxx
对 mn 的任一正因子 l ，假设 l=pc11pc22...pcxx ，则有 0≤ci≤ai+bi
令 s=pd11pd22...pdxx ， t=pe11pe22...pexx ，其中 di={ci0ci≤aici>ai ， ei={0ci−aici≤aici>ai
则有 (s,t)=1,s|m,t|n ，且显然该分解唯一
反之，如果 s,t 满足 (s,t)=1,s|m,t|n ，令 ci=⎧⎩⎨⎪⎪di0ai+eidi≠0di=0,ei=0di=0,ei≠0 ，则 pc11pc22...pcxx|mn
显然该表示唯一，综上结论成立
2 . d(rst)=∑i|r∑j|s∑k|t[(i,j)=1][(i,k)=1][(j,k)=1]
d(rst)=∑i|r∑j|st[(i,j)=1]=∑i|s∑j|s∑k|t[(i,jk)=1][(j,k)=1]=∑i|r∑j|s∑k|t[(i,j)=1][(i,k)=1][(j,k)=1]
进而有
∑i=1a∑j=1b∑k=1cd(ijk) ====∑r=1a∑s=1b∑t=1c∑i|r∑j|s∑k|t[(i,j)=1][(i,k)=1][(j,k)=1]∑i=1a∑j=1b∑k=1c⌊ai⌋⌊bj⌋⌊ck⌋[(i,j)=1][(i,k)=1][(j,k)=1]∑i=1a∑j=1b∑k=1c⌊ai⌋⌊bj⌋⌊ck⌋[(i,j)=1][(i,k)=1]∑d|(j,k)μ(d)∑i=1a⌊ai⌋∑d=1min(b,c)μ(d)∑j=1⌊bd⌋⌊bjd⌋[(i,jd)=1]∑k=1⌊cd⌋⌊ckd⌋[(i,kd)=1]
预处理 gcd(i,j) 和 mu(d) ，枚举 a,d ，时间复杂度 O(n2log n)
Code
#include1;
if(i%p[j])mu[i*p[j]]=-mu[i];
else
{
mu[i*p[j]]=0;
break;
}
}
}
for(int i=0;i<=n;i++)gcd[i][0]=gcd[0][i]=i;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
gcd[j][i]=gcd[i][j]=gcd[j][i%j];
}
int deal(int n,int d,int i)
{
int ans=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(gcd[i][j*d]==1)ans+=n/j;
return ans;
}
int main()
{
init();
int a,b,c;
while(~scanf("%d%d%d",&a,&b,&c))
{
int ans=0;
for(int i=1;i<=a;i++)
{
int res=0;
for(int d=1;d<=min(b,c);d++)
{
res+=((ll)mu[d]*deal(b/d,d,i)*deal(c/d,d,i)%mod+mod)%mod;
if(res>=mod)res-=mod;
}
ans+=(ll)(a/i)*res%mod;
if(ans>=mod)ans-=mod;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}