扩展欧几里德算法 简单证明

扩展欧几里德算法

顾名思义 ，扩展欧几里德算法（Extended Euclidean algorithm）是在欧几里德（Euclidean algorithm）——（也就是辗转相除法）的基础上扩展得来的。
算法要求得出一个整数解x和y，使得a * x + b * y = gcd(a,b).

先简单说一下欧几里德算法：对于求解两个整数a，b（a>b）的最大公约数gcd(a,b)问题，等价于求解gcd(b,a mod b)，也就是说，（划重点）gcd(a,b) == gcd(b,a mod b)
这里就不给出证明了

gcd递归实现代码1：

int gcd(int a,int b){
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

gcd递归实现代码2(简化)：

int gcd(int a,int b){
    return b!=0 ? gcd(b,a%b) : a;
}

gcd非递归实现：

int gcd(int a,int b){
    while(b){
        int t = a;
        a = b;
        b = t%b;
    }
    return a;
}

接下来我们直接利用上面的结论来证明扩展欧几里德算法

证明：

$$1：当b=0时，显然gcd(a,b)=a，并且此时x=1，y=0$$$$\begin{gathered} 2：当b̸=0时，假设：a\cdot x1+b\cdot y1=gcd(a,b)，b\cdot x2+(a\%b)\cdot y2=gcd(b,a\%b) \\ 把a\%b=a-(a/b)\ast b和gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)代入得到： \\ a\cdot x1+b\cdot y1=b\cdot x2+[a-(a/b)\ast b]\cdot y2 \\ a\cdot x1+b\cdot y1=a\cdot y2+b\cdot [x2-(a/b)\cdot y2] \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 这样可以推导出x1=y2，y1=[x2-(a/b)\cdot y2] \\ 将b=0的情况作为递归基，不断递归算出x和y \end{gathered}$$
容易得出递归是有穷的，因为辗转相除是有穷的，递归到最后b肯定会变成0.

递归实现：

void extgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extgcd(b,a%b,x,y);
    int x1 = x,y1 = y;
    x = y1;
    y = x1 - (a/b) * y1;
}

非递归实现比递归实现麻烦太多，就不写出来了

• 关于扩展欧几里德算法的时间复杂度：
  看一下递归方法就能知道， 扩展欧几里德算法和辗转相除法的复杂度一样，复杂度在 O(log max(a,b)) 以内
  证明：
  如果ab
  在a>b的情况下，函数按gcd(a,b) => gcd(b,a%b) => gcd(a%b,b%(a%b))递归下去
  当b>a/2时：a%b=a-b 当b 可以发现每两次递归之后第一个参数一定会小于原来的一半。

• 关于a * x+b * y = gcd(a,b)解的大小：
  结论：|x|<=b 且 |y|<=a
  利用归纳法来证明：
  ①在b=0的前一步，即a%b=0时有x=1且y=1，结论显然成立
  ②假设对于调用(b , a%b , x , y )后得到的x1和y1
  存在 |x1|<=a%b，|y1|<=b
  则 |x| = |y1| <= b，|y| = |x1-(a/b)*y1|<=|x1|+(a/b)|y1|<=a%b+(a/b)*b=a