数论初步:辗转相除法和扩展欧几里得

1.辗转相除法

虽然很久以前就知道这个方法了，但是一直都不明白原理【汗】
我们假设$GCD(x,y)$为x,y的最大公因数，那么有这样的一个结论:
x>=y时：$GCD(x,y)=GCD(x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}y,y)$（如果x比y小则x mod y还是等于x,不会有影响）
证明如下：
令x，y的最大公因数为n，则$x|n,y|n$，$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}y$ 等同于 $x-y\ast k$, 因为$x|n,y|n$所以$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}y$也被n整除，则此时x,y的公因数也是$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}y$，y的公因数，因为n时x，y的最大公因数，所以n也是$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}y$，y的最大公因数。

有了如上这个结论我们就可以愉快地递推了。
但是为什么是“辗转"相除呢，因为这样就能够避免我上面写到的x比y小的问题。我们每次交换x，y的位置，就能让它不停地除下去。
代码如下：

int gcd(int x,int y){
	if (y==0) return x; else return gcd(y,x%y);
}

扩展欧几里德算法(exgcd)

辗转相除法又被称为欧几里德算法，那么扩展欧几里德算法就是在欧几里德算法上稍加改动得到的。
exgcd用于解决形如$ax+by=GCD(a,b)$这样的不定方程求特殊根的问题（求出一个特殊根$x0,y0$就可以用公式$x=x0+\frac{b}{GCD(a,b)}\ast t,y=y0-\frac{a}{GCD(a,b)}\ast t$来求出所有的根）
其实辗转相除法与不定方程有很深的关系：
辗转相除最后的答案必定是$a=GCD(a,b),b=0$.
带入方程$ax+by=GCD(a,b)$，可求得x=1，y=0。
那么可以表示为:$$a\ast 1+b\ast 0=GCD(a,b)$$
对于某一个 $x1,y1$,满足：$$ax1+by1=GCD(a,b)$$
那么必定存在另一组x2,y2满足：$$b\ast x2+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b）y2=GCD(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$$（这一项即为辗转相除法求得的下一项）
由上面的结论:$$GCD(x,y)=GCD(x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}y,y)$$
可得：$$a\ast x1+b\ast y1=b\ast x2+a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}by2$$
这个等式也可以写成:$$a\ast x1+b\ast y1=b\ast x2+（a-\frac{a}{b}\ast b）\ast y2$$
变形：$$a\ast x1+b\ast y1=a\ast y2+b\ast x2-\frac{a}{b}\ast b\ast y2=a\ast y2+b\ast (x2-\frac{a}{b}\ast y2)$$
那么就可以发现:$x1=y2,y1=x2-\frac{a}{b}\ast y$。
又因为我们确定了边界（1，0），所以可以递推解决。

代码如下：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if (b==0) {x=1,y=0; return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x; x=y,y=t-a/b*y;
}//x,y就是所求的特殊解

扩展欧几里得算法求线性模方程的最小正整数解

我们先考虑一个线性方程，$ax\equiv b(modc)$。
我们要求这个方程的一个最小正整数解。
那么$b$一定能够表示成$ck+ax$的形式，因为$ax$和$b$模$c$同余。
那么就可以写成一个不定方程：$ax+by=c$
这就可以用不定方程求解。
首先如果gcd（a，b)不是c的倍数，那么肯定无解。
否则，我们我们求一下exgcd（a，b）。
考虑通解的一个方程：
设x0，y0为一组特殊解，可知通解为：
$$x=\frac{c}{gcd(a,b)}\ast x0+\frac{b}{gcd(a,b)}\ast t$$
$$y=\frac{c}{gcd(a,b)}\ast y0–\frac{a}{gcd(a,b)}\ast t,t\in Z$$
那么根据这一式子，我们可以推出最小的一组正整数解：$(x0\ast \frac{c}{gcd（a，b）}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b+b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$

例题：BZOJ1477 青蛙的约会：传送门
代码如下：

#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
ll x,y,m,n,L,a,b;
ll exgcd(ll x,ll y,ll &x0,ll &y0){
    if (y==0) {x0=1,y0=0; return x;}
    ll ret=exgcd(y,x%y,x0,y0);
    ll t=x0; x0=y0,y0=t-x/y*y0;
    return ret;
}
ll solve(ll a,ll b,ll c){
    ll x0,y0,g=exgcd(a,b,x0,y0);
    if (c%g) return -1;
    x0=x0*c/g; y0=y0*c/g;
    x0=(x0%b+b)%b;
    return x0;
}
int main(){
    scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&m,&n,&L);
    if (solve(n-m,L,x-y)==-1) printf("Impossible\n");
    else printf("%lld\n",solve(n-m,L,x-y));
    return 0;
}

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update 2018.7.20 更新了latex公式。