【费用流】CF802C Heidi and Library (hard)

【题目】
CF
你有一个容量为$k$的空书架，现在共有$n$个请求，每个请求给定一本书$a_i$，如果你的书架里没有这本书，你就必须以$w_i$的价格购买这本书放入书架。当然，你可以在任何时候丢掉书架里的某本书。请求出完成这$n$个请求所需要的最少价钱。
$n,k\le 80,w_i\le 10^6$

【解题思路】
范围很小可以考虑网络流，有价格限制即考虑费用流。

对于第$i$天，我们先强制要买一本书，那么连边$(S,i,1,w_{a_i})$。由于一本书如果必须要丢，那么在什么时候丢都一样，于是接下来新建一排中转点来表示这天的物品丢不丢，那么连边$(i,i+n,1,0)$，表示这个物品不保留。还需要连$(i+n,T,1,0)$表示只能丢一次。为满足至多保留$k-1$本书的限制还要连$(i,i+1,k-1,0)$。

对于一本书，若它之前已经在书架上，那么我们可以不买入，也可以看作卖出再买入，那么我们可以连$(i-1,pr{e}_{a_i}+n,1,-w_{a_i})$，表示在前一天卖出，同时会占用它到$T$的边。

跑最小费用最大流即可。

复杂度$O(costflow(n^2,n^2))$

【参考代码】

#include
using namespace std;

const int N=165,M=N*6,inf=0x3f3f3f3f;
int n,K,tot,S,T,ans;
int head[N],dis[N],inq[N],a[N],w[N],pre[N],ins[N];
queue<int>q;

struct Tway{int v,nex,w,c;}e[M];
void add(int u,int v,int w,int c)
{
	e[++tot]=(Tway){v,head[u],w,c};head[u]=tot;
	e[++tot]=(Tway){u,head[v],0,-c};head[v]=tot;
}

int read()
{
	int ret=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) c=getchar();
	while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
	return ret;
}

bool spfa()
{
	memset(dis,0x3f,(T+2)<<2);q.push(S);dis[S]=0;inq[S]=1;
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();q.pop();inq[x]=0;
		for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
		{
			int v=e[i].v;
			if(e[i].w && dis[v]>dis[x]+e[i].c) 
			{
				dis[v]=dis[x]+e[i].c;
				if(!inq[v]) q.push(v),inq[v]=1;
			}
		}
	}
	return dis[T]<(inf/2);
}

int dfs(int x,int flow)
{
	if(x==T || !flow) return flow;
	int u,used=0;ins[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
	{
		int v=e[i].v;
		if(ins[v] || !e[i].w || (dis[v]!=dis[x]+e[i].c)) continue;
		u=dfs(v,min(e[i].w,flow-used));
		e[i].w-=u;e[i^1].w+=u;used+=u;ans+=e[i].c*u;
	}
	ins[x]=0;
	return used;
}

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("CF802C.in","r",stdin);
	freopen("CF802C.out","w",stdout);
#endif
	n=read();K=read();S=2*n+1;T=S+1;tot=1;
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) w[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		add(S,i,1,w[a[i]]);add(i+n,T,1,0);add(i,i+n,1,0);
		if(i<n) add(i,i+1,K-1,0);
		if(pre[a[i]]) add(i-1,pre[a[i]]+n,1,-w[a[i]]);
		pre[a[i]]=i;
	}
	while(spfa()) dfs(S,inf);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}