【HNOI 2017】大佬
Problem
Description
人们总是难免会碰到大佬。他们趾高气昂地谈论凡人不能理解的算法和数据结构，走到任何一个地方，大佬的气场就能让周围的人吓得瑟瑟发抖，不敢言语。你作为一个 OIer，面对这样的事情非常不开心，于是发表了对大佬不敬的言论。 大佬便对你开始了报复，你也不示弱，扬言要打倒大佬。现在给你讲解一下什么是大佬，大佬除了是神犇以外，还有着强大的自信心，自信程度可以被量化为一个正整数 \(C\)，想要打倒一个大佬的唯一方法是摧毁 Ta 的自信心，也就是让大佬的自信值等于 \(0\)（恰好等于 \(0\)，不能小于 \(0\)）。由于你被大佬盯上了，所以你需要准备好 \(n\) 天来和大佬较量，因为这 \(n\) 天大佬只会嘲讽你动摇你的自信，到了第 \(n+1\) 天，如果大佬发现你还不服，就会直接虐到你服，这样你就丧失斗争的能力了。
你的自信程度同样也可以被量化，我们用 \(\mathrm{mc}\) 来表示你的自信值上限。在第 \(i \ (i\ge 1)\) 天，大佬会对你发动一次嘲讽，使你的自信值减小 \(a_i\)，如果这个时刻你的自信值小于 \(0\) 了，那么你就丧失斗争能力，也就失败了（特别注意你的自信值为 \(0\) 的时候还可以继续和大佬斗争）。 在这一天，大佬对你发动嘲讽之后，如果你的自信值仍大于等于 \(0\)，你能且仅能选择如下的行为之一：
还一句嘴，大佬会有点惊讶，导致大佬的自信值 \(C\) 减小 \(1\)。
做一天的水题，使得自己的当前自信值增加 \(w_i\)，并将新自信值和自信值上限 \(\mathrm{mc}\) 比较，若新自信值大于 \(\mathrm{mc}\)，则新自信值更新为 \(\mathrm{mc}\)。例如，\(\mathrm{mc} = 50\)，当前自信值为 \(40\)，若 \(w_i = 5\)，则新自信值为 \(45\)，若 \(w_i = 11\)，则新自信值为 \(50\)。
让自己的等级值 \(L\) 加 \(1\)。
让自己的讽刺能力 \(F\) 乘以自己当前等级 \(L\)，使讽刺能力 \(F\) 更新为 \(F\cdot L\)。
怼大佬，让大佬的自信值 \(C\) 减小 \(F\)。并在怼完大佬之后，你自己的等级 \(L\) 自动降为 \(0\)，讽刺能力 \(F\) 降为 \(1\)。由于怼大佬比较掉人品，所以这个操作只能做不超过两次。
特别注意的是，在任何时候，你不能让大佬的自信值为负，因为自信值为负，对大佬来说意味着屈辱，而大佬但凡遇到屈辱就会进化为更厉害的大佬直接虐飞你。在第 \(1\) 天，在你被攻击之前，你的自信是满的（初始自信值等于自信值上限 \(\mathrm{mc}\)），你的讽刺能力 \(F\) 是 \(1\)，等级是 \(0\)。
现在由于你得罪了大佬，你需要准备和大佬正面杠，你知道世界上一共有 \(m\) 个大佬，他们的嘲讽时间都是 \(n\) 天，而且第 \(i\) 天的嘲讽值都是 \(a_i\)。不管和哪个大佬较量，你在第 \(i\) 天做水题的自信回涨都是 \(w_i\)。这 \(m\) 个大佬中只会有一个来和你较量（\(n\) 天里都是这个大佬和你较量），但是作为你，你需要知道对于任意一个大佬，你是否能摧毁他的自信，也就是让他的自信值恰好等于 \(0\)。和某一个大佬较量时，其他大佬不会插手。
Input Format
第一行三个正整数 \(n,m,\mathrm{mc}\)。分别表示有 \(n\) 天和 \(m\) 个大佬，你的自信上限为 \(\mathrm{mc}\)。
接下来一行是用空格隔开的 \(n\) 个数，其中第 \(i(1\le i\le n)\) 个表示 \(a_i\)。
接下来一行是用空格隔开的 \(n\) 个数，其中第 \(i(1\le i\le n)\) 个表示 \(w_i\)。
接下来 \(m\) 行，每行一个正整数，其中第 \(k(1\le k\le m)\) 行的正整数 \(C_k\) 表示第 \(k\) 个大佬的初始自信值。
Output Format
共 \(m\) 行，如果能战胜第 \(k\) 个大佬（让他的自信值恰好等于 0），那么第 \(k\) 行输出 \(1\)，否则输出 \(0\)。
Sample
Input
30 20 30
15 5 24 14 13 4 14 21 3 16 7 4 7 8 13 19 16 5 6 13 21 12 7 9 4 15 20 4 13 12
22 21 15 16 17 1 21 19 11 8 3 28 7 10 19 3 27 17 28 3 26 4 22 28 15 5 26 9 5 26
30
10
18
29
18
29
3
12
28
11
28
6
1
6
27
27
18
11
26
1Output
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1Range
对于 \(20\%\) 的数据，\(1\le n\le 10\)；
另有 \(20\%\) 数据，\(1\le C_i,n,\mathrm{mc}\le 30\)；
对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n, \mathrm{mc}\le 100, 1\le m\le 20; 1\le a_i, w_i\le\mathrm{mc}, 1\le C_i\le 10^8\)。
Algorithm
\(DP\)，广搜
Mentality
我感觉我做了一道搜索题 \(......\) 蓝瘦。而且题面也太过真实了。
我们第一个瞬间就该发现，每个大佬只有血量不同，那么我们为了打败大佬，肯定要用尽量多的时间来降低他的自信，则由于其他量都相等，我们完全可以先求出最多能用多少天来与大佬战♂斗对抗。
这个很简单，来一发 \(DP\) 就好，设 \(f[i][j]\) 为到了第 \(i\) 天剩余 \(j\) 点自信时，最多能花多少天嘲讽大佬。然后取 \(n^2\) 数组内的最大值 \(D\) 作为最大天数。
然后我们要统计如何分配怼大佬的那两次。
首先，如果大佬的自信值小于等于 \(D\) ，我们直接不停还嘴就行。
那么我们讨论一下怼大佬的情况。
先计算出我们的嘲讽能力为 \(F\) 时所需花费的最小天数 \(D\) ，求法后面再讲，它太过暴力了 \(emm...\) 。
我们考虑枚举两次怼大佬时的嘲讽能力 \(F1,F2\) ，显然在相同 \(F\) 值的情况下花在准备上的时间要越少越好，我们设两者的时间为 \(D1,D2\)。
那么我们这两次怼大佬必定要满足两个条件：不能把大佬怼死了；剩下的时间通过还嘴可以刚好打败大佬。
转化成不等式如下：
\[ F1+F2\le C ,F1+F2+(D-D1-D2)\ge C \]
那我们只需要枚举一个 \(F1\) ，在这种情况下，\(F1,D1\) 都已经固定了，我们可以找到一个满足第一个不等式的，具有最优性的 \(F2\) ，也即 \(F2-D2\) 在满足第一个不等式的条件下最小，那么这时我们计算 \(F1+F2+(D-D1-D2)\) 是否大于等于 \(C\) ，如果大于则此次询问答案为 \(YES\) ，如果枚举遍所有的 \(F1\) 都无法满足第二个不等式那答案就为 \(NO\) 。
所以我们可以把所有计算出来的状态按 \(F\) 排序，然后从大到小枚举 \(F1\) ，而 \(F2\) 的寻找范围也是单调递增的，那么我们扫 \(F2\) 的指针沿用上次的即可。
那么重点来了，怎么计算状态呢？答案是 -- 广搜 \(......\)
我们只需要带着三个数值所代表的状态 \(dfs\) 即可，分别是 \(step\) -- 使用 \(step\) 天，\(L\) -- 当前等级，\(F\) -- 当前嘲讽能力。然后直接广搜肯定是不行的，我们来观察一下：由于在相同的 \(F\) 下，所花天数越小越好。而由于我们使用的是广搜，所以当我们搜索到一个新状态 \(step,L,F\) 时，相对于当前的 \(L,F\) ，\(step\) 就肯定是最优天数了。所以我们只需要使用哈希表判重，如果后面再搜到相同的 \(L,F\) ，那就不加入搜索队列了。
暴力否？
如若不懂详见代码。
为了卡常长得蛮奇怪。
Code
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define f(i) STA[i].first
#define d(i) STA[i].second
const int mod=9e5+1;
int n,m,limit,maxx,cnt,C,a[101],w[101],c[21];
int f[101][101],D;
inline void read(int &x)
{
x=0;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))
ch=getchar();
while(isdigit(ch))
{
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
}
pair STA[1000001];
struct node{int L,F,t;};
struct Check
{
int x[mod],y[mod],nx[mod],head[mod],cnt;
int get_key(int X,int Y){return (998244ll*X+Y)%mod;}
inline void add(int X,int Y)
{
int now=get_key(X,Y);
cnt++;
nx[cnt]=head[now],x[cnt]=X,y[cnt]=Y;
head[now]=cnt;
}
inline bool query(int X,int Y)
{
int now=get_key(X,Y);
for(register int i=head[now];i;i=nx[i])
if(X==x[i]&&Y==y[i])
return true;
return false;
}
}Map,M;
inline void Max(int &a,int b){a=a q;
inline void bfs()
{
q.push((node){0,1,1});
while(!q.empty())
{
node now=q.front();
q.pop();
if(now.t==D)continue;
q.push((node){now.L+1,now.F,now.t+1});
if(now.L>1&&1ll*now.L*now.F<=maxx&&!Map.query(now.L*now.F,now.L))//手写 Map 判重
{
int A=now.L*now.F,B=now.t+1;
q.push((node){now.L,A,B});
if(!M.query(A,9181283))STA[++cnt]=make_pair(A,B),M.add(A,9181283);//相同 F 下所花天数越少越好
Map.add(A,now.L);
}
}
}
int main()
{
read(n),read(m),read(limit);
for(register int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
for(register int i=1;i<=n;i++)read(w[i]);
for(register int i=1;i<=m;i++)read(c[i]),Max(maxx,c[i]);//先处理出搜索的上限 -- F 值至少不能大于自信值最强的大佬的自信吧
for(register int i=1;i<=n;i++)
for(register int j=a[i];j<=limit;j++)
Max(f[i][j-a[i]],f[i-1][j]+1),Max(f[i][min(limit,j-a[i]+w[i])],f[i-1][j]);//先 DP 出最大天数
for(register int i=1;i<=n;i++)for(register int j=1;j<=limit;j++)Max(D,f[i][j]);//取 max
bfs();//开始广搜
sort(STA+1,STA+cnt+1);
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
if(c[i]<=D)
{
printf("1\n");
continue;
}
int mmax=-1e9,Ans=0;
for(register int l=1,r=cnt;r;r--)
{
while(f(l)+f(r)<=c[i]&&l=c[i])Ans=1;//是否满足第二个不等式
if(f(r)<=c[i]&&f(r)+D-d(r)>=c[i])Ans=1;
}
printf("%d\n",Ans);
}
}