[BZOJ3817][Sum][类欧几里得算法 数论]

题目大意：

给定 N<=109,R<=104 ，求：

∑d=1n(−1)⌊d∗r∗d√⌋

思路：

不妨设 x=r√ ，那么

−1⌊dx⌋=1−2(⌊dx⌋%2)=1−2(⌊dx⌋−⌊dx2⌋∗2)=1+4⌊dx2⌋+2⌊dx⌋

所以：

∑d=1n=n+4∑d=1n⌊dx2⌋−2∑d=1n⌊dx⌋

考虑表达式的一般形式：

∑i=1n⌊abx+ci⌋=∑i=1n⌊ki⌋

当 k>=1 时：

=∑i=1n(⌊bx+ca⌋+bx+c−⌊bx+ca⌋aa)i=∑i=1n(bx+c−⌊bx+ca⌋aa)i+⌊bx+ca⌋∗C2n

当 k<1 时：

=⌊kn⌋n−∑j=1kn⌊abx−acb2v−c2∗j⌋

• 发现新的表达式和原表达式形式类似，因此可以递归求解，辗转的过程类似于欧几里得法求 gcd ，因此被称为类欧。

• 考虑它的几何意义，相当于是求一个斜边为 y=kx 直角三角形内整点的个数，这个过程相当于把三角形不停翻转。

• 因为 k>=1 和 k<1 必定是轮流出现，所以这两步可以在一步内完成。

• 为什么用cin读入会RE？？？

代码：

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
ll T, n, m;
double t;
inline  ll gcd(ll a, ll b) {
    if (!b) return a;
    return gcd(b, a % b);
}
inline ll calc(ll n, ll a, ll b, ll c) {
    if (!n) return 0;
    ll g = gcd(gcd(a, b), c); a /= g, b /= g, c /= g;
    ll k = (t * b + c) / a, ret = n * (n + 1) / 2 * k;
    c -= k * a; k = (t * b + c) / a * n;
    ret += n * k;
    ret -= calc(k, b * b * m - c * c, a * b, -a * c);
    return ret;
}
int main(void) {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    scanf("%lld", &T);
    while (T--) {
        scanf("%lld%lld", &n, &m); t = sqrt(m);
        if ((ll)t == t) printf("%lld\n", (ll)((m & 1) ? ((n & 1) ? -1 : 0) : n));
        else printf("%lld\n", n + (calc(n, 2, 1, 0) << 2) - (calc(n, 1, 1, 0) << 1));
    }
    return 0;
}

完。

By g1n0st