陶哲轩实分析 4.2 节习题试解

陶哲轩实分析 4.2 节习题试解

4.2.1 证明比例数的定义是自反的、对称的以及传递的。

（a） 证明自反性

设 x 是比例数，可表示为 a//b 其中 a 和 b 是整数， b≠0 。
因为 ab=ab 所以 x=x

（b）证明对称性
设 x 是比例数，可表示为 a//b 其中 a 和 b 是整数， b≠0 。
y 也是比例数，可表示为 c//d 其中 c 和 d 是整数， d≠0 。
因为 x=y
所以 ad=bc
所以 bc=ad
所以 y=x

（c）证明传递性
设 x 是比例数，可表示为 a//b 其中 a 和 b 是整数， b≠0 。
y 也是比例数，可表示为 c//d 其中 c 和 d 是整数， d≠0 。
z 也是比例数，可表示为 e//f 其中 e 和 f 是整数， f≠0 。

因为 x=y ， y=z
所以 ad=bc ， cf=de
所以 adcf=bcde
所以 af(dc)=be(dc)
这个等式表明，要么 dc=0 要么 af=be
如果 dc=0 又一直 d 不为 0 ，所以 c=0
那么 a=0 ， e=0 ，蕴含 af=be
所以必然有 af=be
所以 x=z

4.2.2

设 x 是比例数，可表示为 a//b 其中 a 和 b 是整数， b≠0 。
y 也是比例数，可表示为 c//d 其中 c 和 d 是整数， d≠0 。
y′ 也是比例数，可表示为 c′//d′ 其中 c′ 和 d′ 是整数， d′≠0 。

（a）若 y=y′ ，证明 xy=xy′
因为 y=y′ ，所以 cd′=c′d
xy=ac//bd ， xy′=ac′//bd′
所以 acbd′=abcd′=abc′d=ac′bd
所以 xy=xy′

（b） 若 y=y′ ，证明 −y=−y′
−y=(−c)//d ， −y′=(−c′)//d′
因为 y=y′ ，所以 cd′=c′d
所以 (−c)d′=(−c)d′
所以 −y=−y′

4.2.3

设 x 是比例数，可表示为 a//b 其中 a 和 b 是整数， b≠0 。
y 也是比例数，可表示为 c//d 其中 c 和 d 是整数， d≠0 。
z 也是比例数，可表示为 e//f 其中 e 和 f 是整数， f≠0 。

（a） 证明 x+y=y+x

x+y==a//b+c//d(ad+bc)//bd

y+x==c//d+a//b(ad+bc)//bd

所以 x+y=y+x

（b） (x+y)+z=x+(y+z)

(x+y)+z===(a//b+c//d)+e//f(ad+bc)//bd+e//f(bde+bcf+adf)//bdf

x+(y+z)===a//b+(c//d+e//f)a//b+(de+cf)//df(bde+bcf+adf)//bdf

所以 (x+y)+z=x+(y+z)

（c） x+0=0+x=x

x+0=a//b+0//1=a//b0+x=0//1+a//b=a//b

所以 x+0=0+x=x

（d） x+(−x)=(−x)+x=0

x+(−x)====a//b+(−a//b)(ab+(−ab))//bb0//bb0

（e） xy=yx

xy=a//b×c//d=ac//bd=c//d×a//b=yx

（f） (xy)z=x(yz)

(xy)z======(a//b×c//d)×e//fac//bd×e//face//bdfa//b×(cd//df)a//b×(c//d×e//f)x(yz)

（g） x×1=1×x=x

x×1=====a//b×1//1a//bx1//1×a//b1×x

（h） x(y+z)=xy+xz

x(y+z)=======a//b×(c//d+e//f)a//b×(cf+de)//df(acf+ade)//bdfacf//bdf+ade//bdfac//bd+ae//bfa//b×c//d+a//b×e//fxy+xz

（i） (y+z)x=yx+zx

(y+z)x=x(y+z)=xy+xz=yx+zx

（j） xx−1=x−1x=1

x−1=b//axx−1=a//b×b//a=1//1=1

4.2.4

设 x 是比例数，可表示为 a//b 其中 a 和 b 是整数， b≠0 。
那么由整数的性质可知， a 要么等于 0 ，要么大于 0 ，要么小于 0 。
当 a=0 时 x=0 。
当 a>0 时 x>0 。
当 a<0 时 x<0 。

4.2.5

设 a=x−y 。那么 z 要么等于 0 ，要么大于 0 ，要么小于 0 。
（a）
当 a=0 时 x=y 。
当 a>0 时 x>y 。
当 a<0 时 x<y 。
（b）
y−x=−a
当 a>0 时 x>y ，此时 −a<0 所以 y<x 。

（c）若 x<y,y<z ， 那么 x<z
x−y=a<0
y−z=b<0
那么 x−z=x−y+y−z=a+b<0
所以 x<z

（d） 若 x<y 那么 x+z<y+z
(x+z)−(y+z)=x−y<0
所以 x+z<y+z

（e） x<y,z>0 那么 xz<yz
y−x=a>0
yz=xz=az>0
所以 xz<yz

4.2.6 如果 x,y,z 是比例数，满足 x<y,z<0 那么有 xz>yz

因为 z<0 所以 (−z)>0
所以 x(−z)−y(−z)<0
所以 yz−xz<0
所以 xz>yz