【AGC035C】Skolem XOR Tree【异或】【构造】

传送门

题意：给定$n$，构造或判断无法构造一个$2n$个结点的树，其中结点$i$和$i+n$的权值为$i$,且所有$i$和$i+n$路径权值异或和等于$i$。

注意到 $2i\oplus 2i+1=1$，然后可以脑补出

然而$1$没处理 发现$1\oplus 2\oplus 3=0$,可以用样例中的方法排出$1\to 2\to 3\to n+1\to n+2\to n+3$,后面按上面的方法构造

如果$n$为偶数最后会剩下一个$n$和$2n$

考虑找到$x,y$使$x\oplus y\oplus 1=n$，然后连接$(n,x)(2n,y)$

但是$3$没有接在$1$上，所以不能选

所以$x,y$需要满足$1<x<n$且$x\ne 3$,$y$一样

下面讨论什么条件下可以找到这样的$x,y$：（注意$n$是偶数）

当$n$是$2$的正整数次幂，显然是无解的

如果$n=2^k+2(k>2)$，即$x\oplus y=2^k+3$,令$x=2^k+1,y=2$

否则直接把$n$的二进制最高位拆出来

即只有$n=2^k$是无解的

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	if (!(n&(n-1))) return puts("No"),0;
	puts("Yes");
	printf("1 2\n2 3\n3 %d\n%d %d\n%d %d\n",n+1,n+1,n+2,n+2,n+3);
	for (int i=4;i<n;i+=2) printf("1 %d\n%d %d\n1 %d\n%d %d\n",i,i,i+1+n,i+1,i+1,i+n);
	if (!(n&1))
	{
		for (int i=2;i<=n;i++)
		{
			int j=i^n^1;
			if (i!=3&&j!=3&&j<=n)
			{
				printf("%d %d\n%d %d\n",i,n,j,2*n);
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}