（转）欧几里德算法(辗转相除)证明

原文出处：https://www.cnblogs.com/Howe-Young/p/4329362.html

过了这么久，终于知道了辗转相处的证明了，以前只是记住了，但不是真的很理解，现在写一下它的证明，以便下次忘了的时候看一下。辗转相除是求两个数的最大公约数的。

要证这个定理成立，只需要证明 gcd(a, b) = gcd(b, a % b) 就行了就是

证明：令a % b = r, 所以a = k * b + r, 所以r = a - k * b,假设d为a，b的一个公约数，那么 d|a，  d|b,（d|a的意思d整除a，也就是a能被d整除），所以a - k * b 也一定能被d整除，即 d|r， 也就是 d|(a % b)， 因此d也是b 和 (a % b)的公约数，因此a,b 的公约数和b, (a%b)的公约数也是一样的，其最大公约数也一定相同，所以gcd(a, b) = gcd(b, a % b);

所以有了这个等式之后，基本上就算完了，还有一步就是怎么到最后求个具体的数，当b等于0时候就可以了，因为最后递归好多

还是和原来的那个公寓数是相同的，最后有0了，他俩的最大公约数就是他本身了，也就是a了，用递归代码如下

1 int gcd(int a, int b)2 {
3      return (b == 0 ? a : gcd(b, a % b));
4 }

 看了很多欧几里德算法的证明，只看懂了这篇（可能是我悟性太低的缘故吧）

之前我一直不理解博客中的这段话“假设d为a，b的一个公约数，那么 d|a，  d|b,（d|a的意思就是d整除a，也就是a能被d整除。a是被除数，d是除数），所以a - k * b 也一定能被d整除”。现在终于想通，特此把自己理解的过程写下来。  

假设

a=21,b=6  d=3是他们的公因数

那么a=21能被3整除，k*b=6*k肯定也能被3整除，那么21-6*k也肯定可以被3整除