RSA的密钥d计算（辗转相除法） c++算法实现
RSA的密钥d计算（辗转相除法） c++算法实现
先亮剑，c++的代码实现:
int calc_d(int e, int n) {
if (e == 1||n==1) return 1;
int d1 = calc_d(e%n, n%e);
return d1 - n / e * ((1 - e * d1) / (n%e));
}RSA算法规定：
p*q =N
(p-1) * (q-1) = n
e*d ≡(1 mod n)
其中在e和n已知的情况下，求d
例：令p=47，q=71，求用RSA算法加密的公钥和私钥。
计算如下：
（1）n=pq=47*71=3337；
（2）φ（n）=（p-1）*（q-1）=46*70=3220；
（3）随机选取e=79（满足与3220互质的条件）；
（4）则私钥d应该满足：79*d mod 3220 = 1；
d如何解？？
79*d mod 3220 = 1等价于存在一个整数k，使得79*d+3220*k=1
79*d+3220*k=1 拆解为 79*d+(79*40+60)*k=1 化简为79*(d+40*k)+60*k=1 记为79*d1+60*k=1 且d = d1-40*k
也就是说，我只要计算出79*d1+60*k=1的d1和k,就可以计算出79*d+3220*k=1的d和k，计算出d1，d即为d1-40*k
好，我们继续碾转
79*d1+60*k=1 拆解为 (60+19)*d1+60*k=1 化简为19*d1+60*(k+d1)=1 记为19*d1+60*k1=1 且k=k1-d1
19*d1+60*k1=1 拆解为 19*d1+(3*19+3)*k1=1 化简为19*(d1+3*k1)+3*k1=1记为19*d2+3*k1=1 且d1=d2-3*k1
19*d2+3*k1=1 拆解为 (3*6+1)*d2+3*k1=1 化简为d2+3*(k1+6*d2)=1 记为d2+3*k2=1 且k1=k2-6*d2
到此就结束了，最终化为d2+3*k2=1，当k2取0时候，d2其值为1，满足该式子
因此k2=0，d2=1，将其值带入，计算易得k1=0-6*1=-6,d1=1-3*-6=19,k=-6-19=-25,d=19-40*-25=1019
验算下:k=-25，d=1019带入79*d+3220*k=1 ，验算成立
上面的实例是为了入手，现在进行纯粹的公式推导
要想计算关于e,n的对应的d，n和e肯定是互质的，因此不会有0或者n=e这些情况的
问题为：存在整数k，使得e*d+n*k=1,求d
记函数f(e,n)是求d函数,所以d=f(e,n)
下面的/是指整数除法，计算的商向下取整
当假设n比e大
e*d+n*k=1拆解为e*d+(n/e*e+n%e)*k=1 化简为e*(d+n/e*k)+(n%e)*k=1，记为e*d1+(n%e)*k=1,且d=d1-n/e*k
e*d1+(n%e)*k=1用函数表示为d1=f(e,n%e)，由于n比e大，可以写为d1 = f(e%n,n%e),d=d1-n/e*k
因为e*d1+(n%e)*k=1，所以k=(1-e*d1)/(n%e), 所以d=d1-n/e*((1-e*d1)/(n%e))
因此d=d1-n/e*((1-e*d1)/(n%e)) => f(e,n)=f(e%n,n%e)-n/e*((1-e*f(e%n,n%e))/(n%e))
当假设n比e小：
e*d+n*k=1拆解为(e/n*n+e%n)*d+n*k=1化简为(e%n)*d+n*(e/n*d+k)=1, 记为(e%n)*d+n*k1=1,且k=k1-e/n*d+k
(e%n)*d+n*k1=1用函数表示为d=f(e%n,n), 由于e比n大,可以写为d=f(e%n,n%e)
因此d=f(e%n,n%e),因为e比n大，所以n/e为0，即d=f(e%n,n%e)=f(e%n,n%e)-n/e*((1-e*f(e%n,n%e))/(n%e))
由此，无论n比e大还是e比n大，其公式都可以用f(e,n)=f(e%n,n%e)-n/e*((1-e*f(e%n,n%e))/(n%e)) 表示
那什么时候结束呢？
这个就是什么时候是显而易见，一眼就可以看出d值的时候，
如e为1时候，k只要取0，e*d+n*k=1,显然d的值为1
如果n为1时候，d取啥整数值都可以，因为都存在k=1-e*d使公式成立，为了方便，d取1好了
因此因为e和n是互质的，e和n在碾转相除的时候，比然会出现一个为1，此时d值取1即可
推导结论：
当n或者e为1时候：d=1
否则d=f(e%n,n%e)-n/e*((1-e*f(e%n,n%e))/(n%e)) ,其中f(e,n)是求d函数，/是除法的商向下取整