浅谈拓展欧几里得算法（辗转相除法）

前言

前天讲了一堆的数论，还没什么时间整理，拓欧我也只是第一次接触（果然还是太蒟），搞了半个晚上才弄懂。避免遗忘或弄丢，写篇博文。

拓展欧几里得算法

了解一下：扩展欧几里得算法，简称 exgcd，一般用来求解不定方程，求解线性同余方程，求解模的逆元等

 

引理：存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by，求 x，y

证明：

part 1：

（1）由gcd（a，b）= gcd（b，a mod b）             //辗转相除法

         得ax+by = by+（a mod b）*y

（2）bx+（a mod b）*y = bx+（a - （a div b）*b）*y     //（a - （a div b）*b）相当于a mod b，总数-最大倍数=余数

                                        = bx+ay-（a div b）*b*y            //乘法分配律

                                        =ay + b*（x-a div b*y）             //乘法结合律，提取公因数b

（3）exgcd（ax+by）= exgcd（ay+b*(x-a div b*y)）

part 2：

终止：当 b=0 时，ax = gcd（a，b），x=1，y=0

           exgcd 的返回值就是gcd（a，b）

part 3：

那么怎么求其他解：

任取一组解（x2，y2），则ax1 + by1 = ax2 + by2（都等于gcd（a，b） = d），
变形得a（x1-x2）= b（y2-y1）
两边同时除以gcd（a，b）（a=a div d ，b=b div d）
此时a与b互素，因此（x1-x2）一定是b的整数倍，则y2-y1=ka，k为正整数
有了这个结论，很容易求出ax+by=-c

part 4：

ax+by=c 无整数解的情况：c不能被gcd（a，b）整除。（即c不是gcd（a，b）的倍数）

理由：因为 ax 与 by 均是gcd（a，b）的倍数，所以其和 ax+by 也是gcd（a，b）的倍数

           因为 gcd(a,b) | ax , gcd(a,b) | by

           所以 gcd(a,b) | ax+by

CODE

ll exgcd(ll a,ll b,ll x,ll y)
{
    if (b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }//终止
    ll d = exgcd(b,a mod b,x,y);
    ll t = x;//先存好现在的x
    x = y;
    y = t-(a div b)*y;
    return d;
}

应用

输入方正整数a，b，n，解方程ax≡b（mod n），也就是求解ax和b关于n同余

由同余定理，ax≡b（mod n）的充要条件是ax-b是n的整数倍

那么我们设这个倍数为y ，则得到 ax-ny=b，可以用上述算法解

当a和n互素的时候，此方程有为一解