拓展欧几里得详解（证明）

前置知识（贝祖定理）

基本内容

若$a、b$是整数，且$gcd(a,b)=d$,对于$\forall x,y$,都有$ax+by=kd$,且必$\exists m,n$有$am+bn=1$.

证明

若$a、b$是整数，且$gcd(a,b)=d$，则有$a=k_{1}d,b=k_{2}d$
即对$\forall x,y$,都有$ax+by=k_{1}dx+k_{2}dy=(k_{1}x+k_{2}y)d=kd$
所以有$k_{1}x+k_{2}y=k$，可以知道$k_1,k_2$互质，所以$k=1$时，必$\exists x=m,y=n$使$am+bn=1$

拓展欧几里得算法推导过程

已知$a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b),b{x}_2+(a\%b)y_2=gcd(b,a\%b)$
$a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a\%b)y_2$
$a\%b=a-(\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)$
将式子代入得：
$a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a-(\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b))y_2$
整理得：
$a(x_1-y_2)+b(y_1-x_2+\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_2)=0$
解出：$x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_2$

因此只要得到一组特解就能递推出其他解，
我们可以知$b==0，a==gcd(a,b)$时返回$a$此时可以得到方程的一组解$x_1=1,y_1=0$在回溯时不断往回带,得到所求得$ax+by=gcd(a,b)$的$x,y$的值，

对于式子$aX+bY=c$,已经求得$x_0,y_0$使$a{x}_0+b{y}_0=c$且$ax+by=0$，
那么$a{x}_0+b{y}_0+n(ax+by)=c$
整理得$a(x_0+nx)+b(y_0+ny)=x$
$x=\frac{b}{gcd(a,b)},y=\frac{a}{gcd(a,b)}$
因此通解为$X=x+n\frac{b}{gcd(a,b)},Y=y+n\frac{a}{gcd(a,b)}$

若所求为$ax+by=c$的值，我们可以先求$a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }=gcd(a,b)$的一组特解，乘上$\frac{c}{gcd(a,b)}$得到$x,y$的值，通解为$X=x+n\frac{b}{gcd(a,b)},Y=y+n\frac{a}{gcd(a,b)}(n\in Z)$