HDU 5184 Brackets (卡特兰数)

题目: LINK

题意: 定义合法的括号序列如下:
 ● 空序列是合法括号序列
  ● 如果s是一个合法括号序列,那么(s)也是合法括号序列
  ● 如果a和b是合法括号序列,那么ab也是合法括号序列
  ● 没有其它情况是合法括号序列
 给定已知括号序列的前一部分,问可以构造出多少合法序列。
 可以提前判断出一些非法的情况,比如n为奇数,给定部分括号非法。之后求合法学列数量。
 其实就是求出卡特兰数。
 结果ans = C(a+b, b) - C(a+b, b-1) , (设a=剩余要填的')'的数量, b=剩余要填的'('的数量)
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关于卡特兰数,一个例子是有n个1,m个-1(n>=m),要求用这些1和-1排列形成n+m长度的排列,要求前i项的和sum[i]>=0 (1<=i<=n+m),这个排列的方案数目就是卡特兰数。方案数应该是C(n+m, m) - C(n+m, m-1)
可以看出本题和上面的例子很相像。当然这只是卡特兰数的一个例子,应该还有好多用途。
关于上面结果的证明过程:可以转化为在平面坐标系中,从(0, 0)走到(n, m)每次向上走或者向右走,且不能越过x=y的直线的方法数。把(0, 0) 和(n, m)都往下移一个单位成为(0, -1), (n, m-1). 从(0, 0)走到(n, m)的非法数目 = (0, -1)到(n, m-1)过程中至少一点和x=y相交的走法数。ans = 总数目 - 非法数目 = C(n+m, m) - 非法数目。根据对称性,(0, -1)到(n, m-1)过程中至少一点和x=y相交的走法数 = (-1, 0)到(n, m-1)的方法数。所以ans = C(n+m, m) - C(n+m, m-1)。
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回到原题,原题结果的求法同样放到坐标系中去,合法序列数目为(x, y) ==> (m, m)且不越过x=y的数目,x为已有'('的数目,y为已有')'的数目,m = n/2;通过平移和对称性,我们可以转化为求(0, 0) ==> (m-y, m-x)不越过x=y直线的方法数,就可以利用上面求出的公式。
会用到有除法的取模,所以要求出逆元。

/* ***********************************************
 	Author        : Napoleon
 	Mail		  : [email protected]
 	Created Time  : 2015-03-11 16:04:59
	Problem       : CB_32_C.cpp
************************************************ */
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std; 
#define INF 1000000000
typedef __int64 LL; 
#define N 1100111
#define mod 1000000007
LL n, a, b, fac[N]; 
char str[N]; 
void init() {
	fac[0] = 1; 
	for(int i = 1;i <= 1000111; i++) {
		fac[i] = (fac[i-1] * i) % mod; 
	}
}
LL pow_(LL a, LL b, LL m) {
	LL ret = 1; 
	while(b) {
		if(b&1) {
			ret *= a; ret %= m;  
		}
		a *= a; a %= m; 
		b >>= 1; 
	}
	return ret; 
}
LL Inv(LL a, LL m) {
	return pow_(a, m - 2, m); 
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt", "r", stdin); 
#endif // ONLINE_JUDGE
	init();
	while(scanf("%I64d", &n) != EOF) {
		scanf("%s", str); 
		if(n&1) {
			puts("0"); continue; 
		}
		a = b = 0; 
		int flag = 0; 
		for(int i = 0; str[i]; i ++) {
			if(str[i] == '(') a ++; 
			else b ++; 
			if(b > a) flag = 1; 
		}
		LL m = n / 2; 
		if(flag || a > m || b > m || b > a) {
			puts("0"); continue; 
		}
		a = m - a; b = m - b; 
		swap(a, b); //a >= b
		LL ans = (a-b+1)*fac[a+b] % mod; 
		ans = ans * Inv(a+1, mod) % mod; 
		ans = ans * Inv(fac[a], mod) % mod; 
		ans = ans * Inv(fac[b], mod) % mod; 
		cout<


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