求最大公因子的简单（时间复杂度小）算法

1.辗转相除法

用（a,b）表示a和b的最大公约数

有定理： 已知a,b,c为正整数，若a除以b余c，则（a,b）=(b,c)。 （证明过程请参考其它资料）

例如：求gcd（319，377）：
∵ 377÷319=1（余58）
∴gcd（377，319）=gcd（319，58）；
∵ 319÷58=5（余29），
∴ gcd（319，58）=gcd（58，29）；
∵ 58÷29=2（余0），
∴ gcd（58，29）= 29；
∴ gcd（319，377）=29.

算法实现

#include 
#include 
using namespace std;

int gcd1(int a,int b)//递归版本
{
    if (areturn gcd1(b,a%b);   //递归调用
    }
}
int gcd2(int a,int b)//循环版本
{
    if (a>a>>b;
    cout<

辗转相除法的时间复杂度为O(logN)。

存在的问题，当两个整形数较大时，做a%b的取模运算性能会比较低，所以，还有一个算法叫更相减损算法，更相减损术来自与《九章算术》

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”，就是 最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法

例1、用更相减损术求98与63的 最大公约数。

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并 辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

7-7=0

所以，98和63的最大公约数等于7。

例2、用更相减损术求260和104的最大公约数。

解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。

此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26 辗转相减：

65-26=39

39-26=13

26-13=13

所以，260与104的 最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。

时间复杂度分析：

更相减损术和辗转相除法的主要区别在于前者所使用的运算是“减”，后者是“除”。从算法思想上看，两者并没有本质上的区别，但是在计算过程中，如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况，可能要进行很多次减法才能达到一次 除法 的效果，从而使得算法的 时间复杂度 退化为O(N)，其中N是原先的两个数中较大的一个。相比之下，辗转相除法的时间复杂度稳定于O(logN)。

算法实现：

int gcd(int a, int b)
{
   while(a != b)
   {
      if(a > b)
      a -= b;
      else
      b -= a;
   }
   return a;
}

所以说，采用什么算法求两个数的最大公约数要看这两个数的值