欧几里得算法(即辗转相除法)的时间复杂度

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本文是参考新浪博客而写。
欧几里得算法, 又称辗转相除法, 用于求两个自然数的最大公约数. 算法的思想很简单, 基于下面的数论等式
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数, mod是模运算, 即求a除以b的余数. 代码如下:

#include 
#include 
using namespace std;

int gcd1(int a,int b)//递归版本
{
    if (aint temp=a;
        a=b;
        b=temp;
    }
    if (b==0)
    {
        return a;
    }
    else
    {
        return gcd1(b,a%b);
    }
}
int gcd2(int a,int b)//循环版本
{
    if (aint temp=a;
        a=b;
        b=temp;
    }
    while ( b!=0)
    {
        int c=a%b;
        a=b;
        b=c;
    }
    return a;
}
int main()
{
    int a,b;
    cout<<"请输入两个正数："<cin>>a>>b;
    cout<"与"<"的最大公约数是:"<//cout<

}

欧几里得算法是最古老而经典的算法, 理解和掌握这一算法并不难, 但要分析它的时间复杂度却并不容易. 我们先不考虑模运算本身的时间复杂度(算术运算的时间复杂度在Knuth的TAOCP中有详细的讨论), 我们只考虑这样的问题: 欧几里得算法在最坏情况下所需的模运算次数和输入的a和b的大小有怎样的关系?
我们不妨设 a>b≥1 , 构造数列 {un}:

u0=a,u1=b,...,uk=uk−2moduk−1(k≥2),

显然, 若算法需要n次模运算, 则有 un=gcd(a,b),un+1=0 . 我们比较数列 {un} 和菲波那契数列 {Fn},

un≥1=F0un−1≥1=F1

又因为由 ukmoduk+1=uk+2, 可得 uk=uk+1×β+uk+2≥uk+1+uk+2 ,故可得

un−2≥un−1+un≥F0+F1=F2

,以此类推，由数学归纳法容易得到

un−k≥Fk,

也就是

uk≥Fn−k

于是得到 a=u0≥Fn,b=u1≥Fn−1 . 也就是说如果欧几里得算法需要做n次模运算, 则b必定不小于 Fn−1 . 根据斐波那契数列的性质, 有

Fn−1>(1.618)n5√

, 即 b>(1.618)n5√ , 所以模运算的次数为 O(lgb) .