为什么辗转除法求最大公因子的时间复杂度是O(nn)

首先我们要明确的是这里的n指的是输入数据所使用的二进制位数。比如我们现在常用用的32位或64位。


我在来看计算机是怎样做除法的。给定两个自然数m1, m2。我们假设m1>m2；这样我们有了一个代数的表达式：m1=pm2+q。很显然p是商，q是余数且m2>q；我们也很容易理解为m1迭代连续p次减m2，最后得出结果如下式：


m1=m1(0),
m1(k)=m1(k-1) - m2,   0<=k<=p


当k=0时，什么运算都没发生。


当p>k>0时，m1(k)

当0<=m1(k)< m2时，运算停止，k相等于计数迭代减法的次数，也就有k=p，为商；m1(k)为余数。 


假设这一切发生在一个模拟图灵机上时，就返回除法的商或者余数。


但是当前公开或使用的大整数除法即使采用Knuth的经典名著“The Art of  Computer Programming”的第4.3.1节中的猜商值公式来计算，也需要多次试运算，所有这些大整数除法最大的缺点是时间复杂度:T(n) = O(nn)。

用85/6来举例，85/6=1010101/110

001   101(0101)左移1位到第3位都小于110，因此商=000 // *85移动3位

002   1010(101)左移四位是1010,比110大，商=0001，余数=1010-110=100(101) // *85移动1位

003   余数100(101)左移一位是1001,比110大，商=00011,余数=1001-110=11(01) //*余数移动1位

004   余数11(01)左移一位是110,等于110，商=000111,余数=0(1) //*余数移动1位

005   余数0(1)左移一位是01,小于110,商=0001110,余数=01//*余数移动1位


因此85/6=1010101/110=0001110，即14，余数为最后的余数1。计算机需要总共移位6次，不难想象当给定两个大数时，第一次除法就需移动n次。

最坏的情况下，余数为n-1位数，接着m2又要继续做除法，我们就得到一个表示移动次数的表达式：

N=（n+(n-1)+(n-2)+...+1）=n(n-1)/2，很显然辗转除法的时间复杂度为O(nn)。