博弈论和囚徒困境中的逻辑：如何利用信息与合作

我们先来思考一个小问题：

纳什均衡
纳什均衡（Nash equilibrium）由美国数学家纳什提出，在多人博弈的时候，如果其他人不改变策略，不论我怎么改变也不能增加收益，所有人都是这样，也就达到了纳什均衡。换句话说，纳什均衡实现了整体利益的最大化。

想要达到纳什均衡，找到整体最优的方案，最重要的一点就是共享信息。

我们拿出最为著名的囚徒困境举例：

警察抓了两个嫌疑犯，在他们没有事先串口供的情况下，分开审问。如果两个罪犯都沉默，各判1年；互相揭发，各判8年；如果一个揭发一个沉默，那么揭发的那个释放，沉默的那个判10年。AB怎么选择才对自己最有利？

如果审问并不是分开进行，而是二人一起，结果又会如何呢？

开始时A，B两人互不吭声，马上，在明确了对方暂未交待的情况下，A有两种选择：

1. 揭发B，如果沉默B会被判10年，所以B也会揭发A，结果两人都判8年；

2. 保持沉默，这时B如果揭发A，会形成1里的结果，所以B应该选择更好的方案，也就是同样保持沉默。这样一来，两人各判1年。

稍作思考，A选择了沉默，B当然也做出同样的分析。最后两人只被各判1年，整体的纳什均衡达成。

由此可见，纳什均衡的达成需要足够的信息，如果信息不足，人往往就会做出损人利己的次优选择，而错过利于大局的最优方案。

近期中美贸易战囚徒困境分析：

两个国家，在关税上可以有以两个选择:
提高关税，以保护自己的商品。（背叛）
与对方达成关税协定，降低关税以利各自商品流通。（合作）
当一国因某些因素不遵守关税协定，独自提高关税（背叛），另一国也会作出同样反应（亦背叛），这就引发了关税战，两国的商品失去了对方的市场，对本身经济也造成损害（共同背叛的结果）。然后二国又重新达成关税协定（重复博弈的结果是将发现共同合作利益最大）。

多阶信息
我们已经知道，掌握更多信息才能知己知彼，百战不殆，但不是所有信息都那么直白，有时候看似无用的信息背后还有我们需要的东西。

为了更直白的感受到这一点，让我们回到文章开头的猜拳问题：

第一把我和Hulk都出了剪刀，这是我知道的第一条信息，好像没有什么卵用；

然后呢？根据规则，我知道下把我只能出锤子或者布，这是其二；

同样，我知道Hulk下一把也只能出锤子或者布，这是第三条。

由于我和Hulk都只能出锤子或者布，出哪一个更好呢？答案是绝对的，布赢锤子，出布！终于理顺了，但这还不是最终答案。

同样地，Hulk也想到了这一点。按理来说，下一把我和Hulk都应该出布。聪明的我俩在出完剪刀之后就立即推理出了这一点。

现在，我知道Hulk得到了这个结论，Hulk也知道我得到了相同的结论。更进一步，我也知道Hulk知道我得到了这一结论。之后，我们就像两台运行着一模一样程序的超级电脑，陷入了一种“知道”的循环，那就是我知道Hulk知道我知道…Hulk知道下一把我俩都应该出布，这是横向推理。

竖向推理，我可以推出第三把我们都应该出石头（Hulk也会这样推理，他也知道我知道），第四把出剪刀，第五把出布，第六把石头…

好了！既然这样，游戏的整个走势在第一把出完剪刀之后就已经完全确定了，不仅因为我俩各自推出了结论，还因为我们知道对方也知道了这个结论。

所以谁也不能获胜，第一把是平局的话游戏就没有进行的必要了，聪明的我俩压根不会进行第二轮划拳。这个决定，仅凭前三条信息是得不出来的，也就是说，我知道这些还不够，我还得知道“他知道”。

在这个小问题里，前三条信息我们看作是一阶信息（我直接知道的事），而“我知道Hulk知道xxx”，是一个二阶信息。以此类推，“我知道他知道我知道xxx”是三阶信息，但是游戏一共只有两人参加，所以大于二阶的信息和二阶是等效的。

当然，你也可以试着分析不同情况下，囚徒困境里的信息阶数。

共识
如果你已经完全理解了多阶信息的意思，那我们就可以开始最后一个问题的推理了（难）。

蓝眼人问题：

有一个岛上住着1000个岛民。其中900个是红眼，100个是蓝眼。岛上的人无法知道自己眼睛的颜色，也不准谈论眼睛的颜色。出于宗教原因，岛民一旦知道自己眼睛的颜色，就会在第二天自杀。一天，岛上来了一个蓝眼睛游客，由于不知道岛上的规矩，他在一次全岛民的聚会中说：“很高兴看到这里有和我一样是蓝眼睛的人。“

假设岛民足够聪明, 具有完全理性，游客的话会产生什么后果？

好了，你已经知道答案了

有了前面的基础，我们直接跳到逻辑里去。

假如我是其中一个蓝眼人1号，通过互相观察，我可以知道2号是蓝眼，2号也可以知道3号是，3号知道4号…这些是一阶信息；接着我也知道2号知道3号是蓝眼，这是二阶；一直往后，我能知道2号知道3号知道…知道100号是蓝眼，这是99阶信息。

怎么少了一阶？因为“100号知道我是蓝眼“是我无法确定的事，毕竟我不知道自己眼睛的颜色。但是我能肯定其他99个人都能看到至少98个蓝眼人，只是他们暂时不知道自己也是蓝眼人。

这时推理就开始了。

假如岛上只有1个蓝眼人（与事实不符），游客说完话之后他也就知道了自己眼睛的颜色，那么他会在之后一天自杀，自杀由一阶信息导致。

如果有2个（与事实不符），一天后他们会观察对方是否自杀，如果对方自杀，那么他是唯一的蓝眼人，理由同上；如果不是，说明对方还看到了一个我没看到的蓝眼人，那这个蓝眼人只可能是我自己！于是“我知道了他知道我是蓝眼人“这个二阶信息，两人可以做出同样的推理，于是第二天两人一起自杀。

我杀我自己 。我们用的是蓝眼~ credit： B站up主 薛定饿了吗

如果有99个蓝眼人（与我看到的相符），99天后还是无事发生，这时我获得了一个一百阶信息，那就是“2号知道3号知道…知道100号知道我（1号）是蓝眼人“！其他99人可以做出同样的推理，这时100个蓝眼人都确定了自己眼睛的颜色，于是在第100天一起自杀，这也就是问题的答案。

到这里，我们终于做完了所有的思考题，兴奋之余，我们把不同阶数的信息做一个分类。

如果有 n 个人，每个人都知道的 n 阶信息被叫做 Common knowledge（袁岚峰博士译作强共识），少于 n 阶的信息被叫做 Mutual knowledge，译作弱共识。

在蓝眼人问题里，游客说话之前，“岛上有蓝眼人“在100个蓝眼人圈子里还是一个弱共识，只有99阶，即大家都知道，但不确定别人知不知道自己；游客说话之后第99天，这句话变成了强共识，这时大家都知道所有人的眼睛颜色。所以游客带来的信息是一个99天后才能获得的，高达100阶的信息。

帽子问题

有一群人围坐在一起，为了便于分析，假定只有4人（这与人数多少无关，可作同样分析）。每个人头戴一顶帽子，帽子为红色的还是白色的红色和白色两种，每个人看不到自己帽子的颜色，但能看到别人帽子的颜色。因此此时他不能判定出自己头上的帽子的颜色。
　　为了分析的方便，我们假定这4个人均戴的是红色的帽子。这时候，一个局外人来到他们的群体当中，对他们说：“你们其中至少一位头戴的是红色的帽子。”当他说了这句话后，他问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人都说“不知道”；这个局外人第二次问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人又都说“不知道”。局外人第三次问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人又说“不知道”。局外人又问第四次：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”这时4个人均说：“知道了！”
　　你能知道为什么吗？
　　当局外人未宣布“至少一个人戴的是红帽子”时，这个事实其实每个人都知道了，因为每个人看到其他3个人的帽子都是红色的，但每个人不知道其他人是否知道这个事实，即这个事实没有成为公共知识。而当这个局外人宣布了之后，“至少一个人帽子是红色的”便成了公共知识。此时不仅每个人知道“至少一个人的帽子是红色的”，每个人还知道其他人知道他知道这个事实……
　　局外人第一次问时，由于每个人面对的其他3个人都是红色的帽子，每个人当然不能肯定自己头上的帽子是什么颜色，于是均回答“不知道”。此时，如果只有1个人戴红色的帽子，那么这个人因面对3个戴白色的帽子，他肯定知道自己的帽子颜色。因此，当4个人均回答“不知道”时意味着“至少有2人戴的是红色的帽子”，而且这也是公共知识。
　　当局外人第二次问时，如果只有2人戴的是红色的帽子，这2人就会回答说“知道”——因为他们各自面对的是1个戴红色帽子的人。由于每个人面对的是不止一个戴红色帽子的人，因此当局外人第二次问时，他们只能回答“不知道”。——此时的“不知道”，意味着“至少3个人戴红色的帽子”，并且它成为公共知识。
　　同样，局外人第三次问时，他们均回答“不知道”，意味着4个人均戴的是红色的帽子。因此，当局外人第四次问时，他们就知道宣布每个人头上均戴的是红色的帽子，于是，他们回答“知道”。
　　在这个过程中，当局外人首先宣布“其中至少一个人的帽子是红色的”，以及第二、第三、第四次回答的时候，无论是回答“知道”还是“不知道”——它们构成公共知识——构成所有人推理的前提，在这个过程中，每个人均在推理。
　　这就是“帽子的颜色问题”。本人将这个问题简化了。原来的问题比较复杂。它是这样的：
　　有一个游戏，有一个主持人和一群人（假定有n人），戴了两种颜色的帽子，每个人的帽子的颜色或者是红色或者是白色，但每个人不能看到自己的帽子的颜色却看得到其他人的帽子的颜色。游戏的主持人说：“你们中至少一个人的帽子是红色的。”主持人开始一次次地问：“你们知道不知道自己的帽子的颜色？”现在的问题是：当主持人问到第几次时，才有人说“知道”？并且多少人说“知道”？
　　据说，这个问题在20世纪曾风靡欧美。