欧拉筛法

问题描述:
       给你一个1~2^31之间的数,包括1和2^31,是素数输出YES,否则NO

解题过程：
（1）一般的判断素数的算法，比如判断N是能被从2到sqrt(N)范围内的整数整除，如果是，则N是合
           数，否则N是素数，显然这肯定会超时。如果用找质数算法(Sieve of Eratosthenes筛法),那
           么空间开销太大，这两种算法都不能达到要求.

（2）这里我们用费马小定理+二次探测定理,但是判断小数用的是Sieve of Eratosthenes筛选法

（3）最大数是2^31次，所以首先至少用unsigned int类型

定理描述：

1）Sieve of Eratosthenes筛法

由于一个合数总是可以分解成若干个质数的乘积，那么如果把质数（最初只知道2是质数）的倍数都
去掉，那么剩下的就是质数了。例如要查找100以内的质数，首先2是质数，把2的倍数去掉；此时3
没有被去掉，可认为是质数，所以把3的倍数去掉；再到5，再到7，7之后呢，因为8，9，10刚才都
被去掉了，而100以内的任意合数肯定都有一个因子小于10（100的开方），所以，去掉，2，3，5，
7的倍数后剩下的都是质数了。

2）费马小定理+二次探测

费马小定理: 如果P是一个素数，且0

（3）模取幂

关于快速求(a^p) mod n
令p=CnCn-1...C1C0,其中Cj(0=

程序实现：

#include  
#include  
#include 
//求(a^b) mod n
long long judge(long long a, long long b, long long n){ 
 long long d=1 , t=a;    
 while (b>0) { 
  if (t==1) return d ;
  if (b%2==1) d=d*t%n; 
    b/=2; 
    t=t*t%n; 
 } 
 return d; 
} 
 
bool nprime[10001] = {1,1};
void psieve(int n){
 int t = (int)sqrt(n),     tmp ;
 for ( int i = 2; i <= t; i++ ){
  if ( !nprime[i] ) 
   for( int j=i; (tmp=j*i) <=n; j++ ) nprime[tmp] = true ; 
 }
}
 
int main(){    
 unsigned int n ;
 psieve(10000) ; 
 srand(100) ;
 while( scanf("%u", &n) != EOF ){ 
  if ( n <= 10000 ) printf("%s\n", nprime[n] ? "NO" : "YES") ;
  else if ( n%2 == 0 || n%3 == 0 ) puts("NO") ;
  else {
   int i, a ;
   for (i=1; i<=5; i++){ 
      a = 2 + rand()%(n-2) ; 
    if ( judge(a, n-1, n) != 1 ) break ;
   } 
   if( i == 6 ) puts("YES") ;
   else puts("NO") ;
  }
 } 
 return 0; 
}

疑点：

（1）其实本题并没有用二次探测，但还是AC了，可能数据里没有Carmichael数

（2）关于如何实现二次探测，如果随机抽取几个1到p-1之间的数x来测试x^2％p＝＝1，那么还是一个概
       率问题，如果对于sqrt(p)到p-1都做一次测试，那显然那太费时间了，关于这个还没有好的想法

（3）在程序中如果只用费马小定理判断那三个Carmichael数，即561，1105，1729，那么输出都是NO，
       说明这三个数都不满足费马小定理的条件，因为同做这题的人很多人遇到了这个问题，要不小定理有
       问题，要不我的模取幂代码写得有问题