leetcode刷题（65）——494.目标和

一、题目

给定一个非负整数数组，a1, a2, …, an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例 1:

输入: nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
输出: 5
解释: 

-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

一共有5种方法让最终目标和为3。

注意:

数组非空，且长度不会超过20。
初始的数组的和不会超过1000。
保证返回的最终结果能被32位整数存下。

二、思路

动态规划四步走：

问题拆解：

问题拆解就是要缩小问题规模。假设 nums: [1, 1, 1, 1, 1]，S: 3。要找到目标和 3，对于数组的最后一个数字我们有两种选择：加上最后一个数，这就要求前面的 n - 1 个数字的目标和为 2；减去最后一个数，这就要求前面的 n - 1 个数字的目标和为 4。找到第 n 个问题与第 n - 1 个子问题的联系。

定义状态：

我们定义 dp[i][j] 表示 “前 i 个数字组成目标和 j 的添加符号的方法数”。

推导状态转移方程：

由问题拆解，对于第 i 个数字 nums[i]，有 + 和 - 两种选择，状态转移方程为：

dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i]] + dp[i - 1][j + nums[i]]

写成递推的形式：

dp[i][j + nums[i]] += dp[i - 1][j]
dp[i][j - nums[i]] += dp[i - 1][j]

题目规定数组的和不超过 1000，那么 j 的最小值可能达到 -1000，所以我们给 dp[i][j] 的第二维预先增加 1000，防止出现负下标的情况，即

dp[i][j + nums[i] + 1000] += dp[i - 1][j + 1000]
dp[i][j - nums[i] + 1000] += dp[i - 1][j + 1000]

寻找边界条件：

• 如果 nums[0] == 0，那么 dp[0][nums[0]] = 2，因为 +0 或者 -0 都能得到 0；
• 如果 nums[0] != 0，那么 dp[0][nums[0]] = 1，dp[0][-nums[0]] = 1。

三、代码

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int S) {
        int[][] dp = new int[nums.length][2001];
        if(nums[0] == 0)
            dp[0][nums[0] + 1000] = 2;
        else{
            dp[0][nums[0] + 1000] = 1;
            dp[0][-nums[0] + 1000] = 1;
        }
        for(int i = 1; i < nums.length; i++){
            for(int j = -1000; j <= 1000; j++){
                if(dp[i - 1][j + 1000] > 0){
                    dp[i][j + nums[i] + 1000] += dp[i - 1][j + 1000];
                    dp[i][j - nums[i] + 1000] += dp[i - 1][j + 1000];
                }
            }
        }
        return S > 1000 ? 0 : dp[nums.length - 1][S + 1000];
    }
}