「算法」素数筛、分解质因数

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meat":6,"charm":0,"torch":0,"waterskin":0,"bone spear":5,"rucksack":0,"l armour":0,"medicine":0,"iron sword":0,"outfit":{"bone spear":5,"cured meat":6,"torch":0,"iron sword":0,"steel sword":0,"leather":0,"teeth":0},"steel sword":0}

枚举筛法

 我们知道素数即为因数只有$1$和它本身的数，换种方式来看，意思就是在$2$~$n-1$的范围中没有一个它的因数

---

原始筛法

 从$2$到$n-1$枚举

for (int i = 2; i <= n; i ++) {
	bool flag = true;
	for (int j = 2; j < i; j ++) {
		if (i % j == 0) {
			flag = false;
			break;
		}
	}
	if (flag) {
		Prime[++ cnt] = i;
	}
}

 最后$cnt$即为素数个数，$Prime$存的就是素数

---

优化

 实际上，除了完全平方数以外，因数都是成对出现的，所以如果我们判断了$i\%j==0$还没跳出循环，就不再需要判断$i\%(i/j)$是否为0了，我们用反证法证明一下

证明
 假设存在$i\%j=0$且$j>i/2$
  $\therefore$一定存在$i\%(i/j)=0$且$j<i/2$
  $\therefore$之前一定遍历过
 得证

for (int i = 2; i <= n; i ++) {
	bool flag = true;
	for (int j = 2; j * j <= i; j ++) { //这里要取等了，有完全平方数
		if (i % j == 0) {
			flag = false;
			break;
		}
	}
	if (flag) {
		Prime[++ cnt] = i;
	}
}

---

分解质因数

朴素算法

就不解释了。。。

for (int i = 2; i <= n; i ++) {
	if (n % i == 0) {
		bool flag = true;
		for (int j = 2; j < i; j ++) {
			if (i % j == 0) {
				flag = false;
				break;
			}
		}
		while (n % i == 0 && flag) {
			n /= i;
			Prime[++ cnt] = i;
		}
	}
}

---

优化

 还有一个很严重的问题，我们真的需要去判断$i$是否为质数吗？
 其实不用

证明
 假设存在$i$，使得$n\%i==0$且$i$为合数
  $\therefore$存在$i$的因数$j$
  $\because$我们在之前已经发现$j$是n的因数，已经使得$n\%j!=0$了
  $\therefore$$n\%i==0$必然不存在
 得证

for (int i = 2; i <= n; i ++) {
	while (n % i == 0) {
		Prime[++ cnt] = i;
		n /= i;
	}
}

---

Eratosthenes筛法（埃拉托斯特尼筛法）

 我们发现，其实对于$2$来说，我们持续地判断了$i\%2$是否为$0$，但是我们完全没有必要去判断偶数是否被$2$整除
 放大了来看，对于素数来说我们并不想去判断它有无因数，因为这样做大大降低了效率，我们可以选择去标记合数，怎么标记呢？
 对于每一个素数而言，所有它的倍数都是合数
 同分解质因数一样，所有在此之前没有被标记的数都是素数

void Eratosthenes_sieve() {
	for (int i = 2; i <= n; i ++) {
		if (flag[i]) continue;	//它是否被标记过
		Prime[++ cnt] = i;
		for (int j = i; j <= n / i; j ++) {
			flag[j * i] = true;
		}
	}
}

---

线性筛法（欧拉筛法）

 其实$6=2\ast 3$，所以$6$被重复标记了两次，所以有些数被标记了很多次
 所以我们标记所有已发现的素数它们的$i$倍为合数

void line_sieve(int n) {
	for (int i = 2; i <= n; i ++) {
		if (!flag[i]) {
			Prime[++ cnt] = i;
		}
		for (int j = 1; j <= cnt && Prime[j] * i <= n; j ++) {
			flag[i * Prime[j]] = true;
			if(i % Prime[j] == 0) {
				break;
			}
		}
	}
}