Unique Paths

1，题目要求

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish’ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?
Note: m and n will be at most 100.

Example 1:

• Input: m = 3, n = 2
• Output: 3

Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:

1. Right -> Right -> Down
2. Right -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Right

Example 2:

• Input: m = 7, n = 3
• Output: 28

机器人位于m x n网格的左上角（在下图中标记为“开始”）。

机器人只能在任何时间点向下或向右移动。 机器人正试图到达网格的右下角（在下图中标记为“完成”）。

请问有多少可能的独特路径？

2，题目思路

对于这道题，有点类似于典型的路径规划问题，只不过机器人的行驶方向有着一定的限制：每次只能朝右走一格或者朝下走一格。

因此，在经过分析之后我们可以看到，对于这个行驶网格，最上面一层和最左边一列，它们的行走方式都只有一种，也就是向右到达该方格或者向下到达该方格。

而对于除了这些方格之外的其他方格，我们可以得知，到达该方格的方式，为：
从它上方的方格到达该方格的总方式
加上
从它左侧的方格到达该方格的总方式

因此，这个问题也就变成了一道比较经典的动态规划问题了。

3，代码实现

static auto speedup = [](){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    return nullptr;
}();

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> mazeDP (m, vector<int> (n ,1));
        
        for(int i = 1;i<mazeDP.size();i++)
            for(int j = 1;j<mazeDP[0].size();j++)
                mazeDP[i][j] = mazeDP[i-1][j] + mazeDP[i][j-1];
        
        return mazeDP[m-1][n-1];
    }
};