Johnson法则-流水作业调度-动态规划

转载再转载，原作者我是找不着了、

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流水作业调度的定义：

设有n个作业，每一个作业i均被分解为m项任务:
Ti1, Ti2, ┅ , Tim(1≤i≤n，故共有n×m个任务)，

要把这些任务安排到m台机器上进行加工。
如果任务的安排满足下列3个条件，
则称该安排为流水作业调度：
1. 每个作业i的第j项任务Tij (1≤i≤n, 1≤j≤m)
只能安排在机器Pj上进行加工；
2. 作业i的第j项任务Tij(1≤i≤n, 2≤j≤m)的开始加工时间

均安排在第j-1项任务Ti,j-1加工完毕之后；

(任何一个作业的任务必须依次完成，前一项任务完成之后才能开始着手下一项任务)

3. 任何一台机器在任何一个时刻最多只能承担一项任务。

最优流水作业调度：

设任务Tij在机器Pj上进行加工需要的时间为tij。

如果所有的tij (1≤i≤n, 1≤j≤m)均已给出，

要找出一种安排任务的方法，

使得完成这n个作业的加工时间为最少。

这个安排称之为最优流水作业调度。

完成n个作业的加工时间：

从安排的第一个任务开始加工, 到最后一个任务加工完毕，

其间所需要的时间。

优先调度：

允许优先级较低的任务在执行过程中被中断，

转而去执行优先级较高的任务。

非优先调度：

任何任务一旦开始加工，就不允许被中断，

直到该任务被完成。

流水作业调度一般均指的是非优先调度。

非优先调度可看成是特殊的优先调度：

所有任务的优先级均相同。

注意：tij为0表示作业i无须在机器Pj上进行加工、

即该道工序可以省略。

已经证明，当机器数(或称工序数)m≥3时，

流水作业调度问题是一个NP-hard问题（e.g分布式任务调度）。

（粗糙地说，即该问题至少在目前，基本上没有可能找到多项式时间的算法。）

∴ 只有当m=2时，该问题可有多项式时间的算法。

为方便起见，记ti1为ai（作业i在P1上加工所需时间），

ti2为bi（作业i在P2上加工所需时间）。

当机器P1为空闲即未安排任何加工任务时，

则任何一个作业的第一个任务（第一道工序）

都可以立即在P1上执行，无须任何先决条件。

因此容易知道，

必有一个最优调度使得在P1上的加工是无间断的。

实际上，如某个最优调度π在P1上安排的加工是有间断的，

则我们可以把所有在P1上出现间断处的任务的

开始加工时间提前，使得在P1上的加工是无间断的；

而在P2上仍按π原先的安排。

把这样调整之后的调度记作为π’。

由于在调度π’下，任何一个任务在P1上加工的结束时间

不晚于在调度π下的结束时间，故调度π’

不会影响在P2上进行加工的任何一个任务的开始时间。

由于调度π’在P1上的结束时间早于调度π，

在P2上的结束时间与调度π相同，而π又是最优调度，

所以π’也是最优调度。由此我们得到：

一定有一个最优调度使得在P1上的加工是无间断的。

另外，也一定有一个最优调度使得在P2上的加工空闲时间

（从0时刻起算）为最小，

同时还满足在P1上的加工是无间断的。（证明留作作业）

因此，如果我们的目标是只需找出一个最优调度，

我们可以考虑找：在P1上的加工是无间断的、

同时使P2的空闲时间为最小的最优调度。

（根据上述理由，这样的最优调度一定存在。）

可以证明，若在P2上的加工次序与在P1上的加工次序不同，

则只可能增加加工时间（在最好情况下，增加的时间为0）。

也就是说，在P1上的加工次序已确定的情况下，

至少有一个最优调度，

其在P1上的加工次序与在P2上的加工次序是完全相同的

（这一点对m≥3不成立）。

因此，当只需找到一个最优调度时，

我们仅需要考虑在P1和P2上加工次序完全相同的调度。

以下的讨论均以此为前提。

为简化起见，我们假定所有ai≠0。因为如果有ai=0的作业，

我们可以先对所有ai≠0的作业进行调度，

然后把所有ai=0的作业放到最前面执行（可按任意次序）。

最优调度具有如下性质：

在所确定的最优调度的排列中去掉第一个执行作业后，

剩下的作业排列仍然还是一个最优调度，

即该问题具有最优子结构的性质。

而且，在计算规模为n的作业集合的最优调度时，

该作业集合的子集合的最优调度会被多次用到，

即该问题亦具有高度重复性。

这就引导我们考虑用动态规划法求解。

然而，正如我们下面将会看到的，

虽然使用动态规划法可以得到一些有用的结果，

但如果不加以某种改进，

完全照搬动态规划法会使得算法的时间复杂度成为指数量级。

问题求解的思路如下。

设N={1，2，┅，n}是全部作业的集合，

作业集S是N的子集合即有S 属于N。

在我们对S中的第一个作业开始进行加工时，

机器P2上加工的其它作业可能还尚未完成，

不能立即用来对S中的作业进行加工。

假设对机器P2需等待t个时间单位以后

才可以用于S中的作业加工（t也可以为0即无须等待），

并记g(S,t)为在此情况下完成S中全部作业的最短时间，

则可用下述递归表达式来表出g(S,t)：

g(S,t)=mini∈S{ai+ g(S-{i},bi+max{t-ai,0})} （*）

即：当选定作业i为S中第一个加工作业之后，

在机器P2上开始对S-{i}中的作业进行加工之前，

所需要的等待时间为bi+max{t-ai,0}。

这是因为，

若P2在开始加工S中的作业之前需等待t个时间单位且t > ai，则作业i在P1上加工完毕（需时ai）之后，

还要再等t-ai个时间单位才能开始在P2上加工；

若t≤ai，则作业i在P1上加工完毕之后，立即可以在P2上加工，

等待时间为0。故P2在开始对S-{i}中的作业进行加工之前，

所需要的等待时间为bi+max{t-ai,0}。

（bi是作业i在P2上加工所需的时间）。

当S=N即全部作业开始加工时，

由于P2上尚无任何正在加工的作业，故此时等待时间t=0。

于是我们有：g(N,0)=min1≤i≤n{ai+ g(N-{i},bi)}

虽然根据（*）式我们可以编写出计算g(N,0)的程序，

但该算法的时间复杂度为指数量级，

因为算法中对N的每一个非空子集都要进行一次计算，

而N的非空子集共有2n-1个。

因此，我们不能直接使用动态规划法来求解该问题，

而需要对算法作一定的改进。

设π是作业子集S的某一个调度，

该调度首先安排作业i，其次安排作业j，

P2需等待t个时间单位以后才可以用于S中的作业加工。

记t’= bi+max{t-ai,0}，则由（*）式调度π的g(S,t)可写为

g(S,t)=ai+ g(S-{i}, t’)= ai+ aj+ g(S-{i,j}, bj+max{t’-aj,0})。

由于x+ max{y1, y2,?,yn}= max{x+y1,x+y2,?,x+yn},，

t’= bi+max{t-ai,0}，

所以bj+max{t’-aj,0}=

bj+max{bi+max{t-ai,0}-aj, 0}= bj+bi - aj+max{max{t-ai,0},aj-bi}

=bj+ bi - aj +max{t-ai, 0, aj-bi}

=bj+ bi - aj - ai +max{t, ai, ai+aj-bi}。

记tij= bj+ bi - aj - ai +max{t, ai, ai+aj-bi}（= bj+max{t’-aj,0}），

则调度π的g(S,t)=ai+ aj+ g(S-{i,j}, tij)。

将调度π中的作业i与j的加工次序交换（其它加工次序不变）

所得调度记为π’，

则调度π’的最早完工时间g’(S,t)=ai+ aj+ g(S-{i,j}, tji)。

显然，若tij ≤ tji，

则有g(S,t) ≤ g’(S,t)即i在前j在后的安排用时较少；

反之，若tij >tji，则j在前i在后的安排用时较少。

因此，我们要找出判断tij与tji之间的大小关系的表达式。

由于tij-tji= max{t, ai, ai+aj-bi}- max{t, aj, ai+aj-bj}，

故我们只要比较

max{t, ai, ai+aj-bi}与max{t, aj, ai+aj-bj}的大小就可以了,

即tij ≤ tji当且仅当max{t, ai, ai+aj-bi} ≤ max{t, aj, ai+aj-bj}。

由于max{t, ai, ai+aj-bi} ≤ max{t, aj, ai+aj-bj}

对任何t ≥ 0成立，当且仅当

max{ai, ai+aj-bi} ≤ max{aj, ai+aj-bj}成立，当且仅当

ai+aj+max{-aj, -bi} ≤ ai+aj+max{-ai, -bj}成立，当且仅当

max{-aj, -bi} ≤ max{-ai, -bj}成立，当且仅当

min{aj, bi} ≥ min{ai, bj}成立（此式称为Johnson不等式）。

即当min{ ai , aj , bi , bj}为ai或者bj时，Johnson不等式成立，

此时把i排在前j排在后的调度用时较少；

反之，若min{ ai , aj , bi , bj}为aj或者bi时，

则j排在前i排在后的调度用时较少。

将此情况推广到一般。

当min{ a1, a2,┅, an , b1, b2,┅, bn }=ak时，

则对任何i≠k，都有min{ai, bk} ≥ min{ak, bi}成立，

故此时应将作业k安排在最前面，

作为最优调度的第一个执行的作业；

当min{ a1, a2,┅, an , b1, b2,┅, bn }= bk时，

则对任何i≠k，也都有min{ak, bi}≥min{ai, bk}成立，

故此时应将作业k安排在最后面，

作为最优调度的最后一个执行的作业。

n个作业中首先开工（或最后开工）的作业确定之后，

对剩下的n-1个作业采用相同方法可再确定其中的一个作业,

应作为n-1个作业中最先或最后执行的作业；

反复使用这个方法直到最后只剩一个作业为止，

最优调度就确定了。

小结：

满足1）高度重复性 2）最优子结构性质 时，

一般采用动态规划法，但偶尔也得不到高效的算法。

若问题本身不是NP-hard问题，

那么进一步分析后有可能获得效率较高的算法。

若问题本身就是NP-hard问题，

那么与其它的精确算法相比，动态规划法一般性能不算太坏，

但有时也需要对动态规划法作进一步的加工。

 

#include
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using namespace std;
int  n,ans;
struct Node{
    int a,b,c;
}x[1500];
bool cmp(Node x,Node y){
    return min(y.b,x.a)