二分之“火车站台连锁店”

二分是一种快速的查找方式，时间复杂度极低，为log2（r-l）（r为右边界，l为左边界,（r-l）为区间长度，log2(r-l)一般不超过100)，非常实用，下面这道题便是一道经典的二分题；

 

火车站台连锁店

描述

 

蒜头君建立了一家火车站台连锁店，要在一条铁路线的所有车站里，选择一部分车站开办连锁店，销售各种口味的大蒜。

 

铁路线上有 n 个车站，假设这条铁路线是一条直线，其中每个站点的坐标为 x₁,x₂,…,x_n；

 

蒜头君一共要开办 m 个连锁店，并且不希望连锁店离得太近，以使得整体的收益最大化。他希望他的连锁店之间的最近距离尽可能大，你能帮他算出这个最大的最近距离吗？

 

 

输入

  第一行输入用空格分隔的两个整数 n,m(2 ≤ n ≤ 10⁵,2 ≤ m ≤ n)分别表示车站数量和连锁店数量。

 

接下来一共 n 行，每行一个整数 x_i（0 ≤ x_i ≤ 10⁹），表示车站的坐标。

 

输出

  输出一行整数，表示最大的最近距离。

 

 

输入样例 1

 

6  3

1

3

5

2

7

9

 

输出样例 1

 

4

 

输入样例 2

 

5 4

5

7

10

28

9

 

输出样例 2

 

2

 

提示

 

样例 2 说明

一共有 5 种选择方案：

 

5 7 9 10：最近距离为 min(7-5,9-7,10-9)=1

5 7 9 28：最近距离为 min(7-5,9-7,28-9)=2

5 7 10 28：最近距离为 min(7-5,10-7,28-10)=2

7 9 10 28：最近距离为 min(9-7,10-9,28-10)=1

5 9 10 28：最近距离为 min(9-5,10-9,28-10)=1

因此，最大的最近距离为 2。

 

 

这道题，乍一眼，我的第一感觉是用dfs去做，但又转念一想，这个的数据范围很大，很可能会超时，于是，只能换种思路。

我又想到了dp去做这道题，但我实在是想不到怎么用dp写，只能放弃，用二分去做；

 

首先，我们先对数组进行排序，为二分做准备：

sort(a+1,a+1+n);//排序，因为二分必须需要完全的升序或降序排列 

然后定义左边界，右边界，并为其赋值

int l=0,r=a[n]-a[1];//给左边界，右边界赋初值 

接下来就是二分操作，但其实这不是真正的核心，真正的核心操作在后面：

while(r-l>1)//二分 
{
    int mid=(l+r)/2;
    if(ok(mid))    l=mid;
    else r=mid;
}

这是二分的基础模板，可以进行记忆；

然后便是核心代码——ok函数：

bool ok(int x){
    int tot=1;//表示选择了的个数 
    int last=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)//查找 
    {
        while(a[i]-a[last]//如果比我们约定的最小值小，就i++ 
        {
            i++;
            if(i>n)    return tot>=m; // 如果多出了车站数，就return; 
        } 
        last=i;
        tot++;
    }
    return tot>=m;
}

最后，补充上基础结构和变量的定义，这道题就做出来了

#include
using namespace std;

int n,m;
int a[100010];

bool ok(int x){
    int tot=1;//表示选择了的个数 
    int last=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)//查找 
    {
        while(a[i]-a[last]//如果比我们约定的最小值小，就i++ 
        {
            i++;
            if(i>n)    return tot>=m; // 如果多出了车站数，就return; 
        } 
        last=i;
        tot++;
    }
    return tot>=m;
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]; 
    sort(a+1,a+1+n);//排序，因为二分必须需要完全的升序或降序排列 
    int l=0,r=a[n]-a[1];//给左边界，右边界赋初值 
    while(r-l>1)//二分 
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(ok(mid))    l=mid;
        else r=mid;
    }
    if(!ok(r)) r=l;//再检查一次，检查r是否正确答案 
    cout<<r;
    return 0; 
}