一点线性筛的东西

线性筛

\(csp\)还有不到一个月。
才发现自己不会线性筛，\(mdzz\).
(代码都没试过，请谨慎使用)

for(int i=2;i<=n;++i) {
    if(!vis[i]) pri[++cnt]=i;
    for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
        vis[i*pri[j]]=1;
        if(i%pri[j]==0) break;
    }
}

只会被最小的素数筛掉。
\(n=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}……p_x^{k_x}\)
枚举的\(i\)为\(\frac{n}{p_1}\)
当\(n\%pri[j]==0\) 就是说枚举到了\(pri[j]*i\)的最小质因子的边界了。
再往后的\(pri[j]\)就会比\(i\)里面的质因子小了，当然不行了。
之前的质因子都是小于\(i\)的质因子，当然行了。
\(n\%pri[j]==0\)就是恰好相等的时候。
可以很方便的求积性函数，只需要毒瘤的简单的分类讨论就好了。

求莫比乌斯函数

\[ \mu(x)=\left\{ \begin{aligned} & 1& n=1 \\ & (-1)^k& n=p_1*p_2…p_k \\ & 0& n=others \end{aligned}\right. \]

mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) {
    if(!vis[i]) {
        pri[++cnt]=i;
        mu[i]=-1;
    }
    for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
        vis[i*pri[j]]=1;
        if(i%pri[j]==0) {
            mu[i*pri[j]]=0;
            break;
        } else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
    }
}

那些
\[ \sum_{d|n}\mu(d)=\left\{ \begin{aligned} & 1& n=1 \\ & 0& n>1 \end{aligned}\right. \]
这个二项式定理啥的证
\(\sum_{i=0}^{k}(-1)^kC_k^i\).

求欧拉函数

\(\phi(n)\)与\(n\)互质的数的个数
之前写的懒得敲了。



筛的主要还是利用\(n*\frac{p_1-1}{p_1}……\frac{p_k-1}{p_k}\)

phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) {
    if(!vis[i]) {
        pri[++cnt]=i;
        phi[i]=i-1;
    }
    for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
        vis[i*pri[j]]=1;
        if(i%pri[j]==0) {
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
            break;
        } else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
    }
}

\[\sum_{d|n}\phi(d)=n\]
咱不会证，咱也不想想.

约数个数

如果 \(x=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_k^{c_k}\) ，则 \(d(x)=(1+c_1)(1+c_2)...(1+c_k)\)
筛的过程中，我们记录一个 \(num(x)\) 表示 \(x\) 的最小质因子的个数，即 \(c_1\) 。
然后\(xjb\)转移

for(int i=2;i<=n;++i) {
    if(!vis[i]) {
        pri[++cnt]=i;
        num[i]=1;
        d[i]=2;
    }
    for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
        vis[i*pri[j]]=1;
        if(i%pri[j]==0) {
            num[i*pri[j]]=num[i]+1;
            d[i*pri[j]]=d[i]/(num[i]+1)*(num[i*pri[j]]+1);
            break;
        } else {
            num[i*pri[j]]=1;
            d[i*pri[j]]=d[i]*2;
        }
    }
}

约数和

我们设sd(i)表示i的约数和。
\(sd(n)=(1+p_1+…+p_1^{r_1})*(1+p_2+…+p_2^{r_2})*…*(1+p_k…+p_k^{r_k})\)
等差数列似的一个东西。
这个时候我们需要记录最小质因子的那一项也就是\((1+p_x+p_x^2+……+p_x^{r_1})\)，叫他\(num(i)\).可以设sd(i)表示i的约数和。设
(一)，当前数是一个素数：
\(sd(i)=i+1\)
\(num(i)=i+1\)
(二)，当前数取模枚举的质数不等于0
​\((i*prime[j])\)里原先没有\((prime[j])\)这一项，加上这一项之后可得：\(sd(i*prime[j])=sd(i)*sd(prime[j])\)
\(num(i*prime[j])=1+prime[j]\)
(三)，当前数取模枚举的质数等于0
\(sd(i*prime[j])=sd(i)/num(i)*(num(i)*prime[j]+1)\)
\(num(i*prime[j])=num(i)*prime[j]+1\)

sd[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) {
    if(!vis[i]) {
        pri[++cnt]=i;
        num[i]=sd[i]=i+1;
    }
    for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
        vis[i*pri[j]]=1;
        if(i%pri[j]==0) {
            sd[i*pri[j]]=sd[i]/num[i]*(num[i]*pri[j]+1);
            num[i*pri[j]]=num[i]*pri[j]+1;
            break;
        } else {
            sd[i*pri[j]]=sd[i]*sd[pri[j]];
            num[i*pri[j]]=pri[j]+1;
        }
    }
}