[USACO18JAN][luoguP4183 ]Cow at Large P

前言

这是一道考试题
需要一定的idea
构造好后似乎就是裸的点分治了

题目相关

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题目大意

这个大意写的很烦，不如看题面
有一棵$n$个点的树
设定一个动点：其每秒可以走到树上相邻的一个节点，若当前它在一个度数为1的节点上，它可以逃出这棵树
定义动点相遇为它们在节点上或边上相遇
对于每个点，求现在在当前点上有个动点想要逃出这棵树，你至少要在多少个叶子节点上放置防守动点才能保证它不会逃出去（如果防守动点碰到动点，那么那个动点就被抓住了）

数据范围

$n\le 7\ast 10^4$

题解

我们可以通过$\Theta (n)$的树形dp求出离$i$点最近的叶子节点到$i$点的距离$g_i$
可能算上下dp
设$i$号点的度数为$d_i$
我们发现对于$d_i=1$的点答案一定为$1$（即放一个点在它自己上即可）
那么我们考虑如何统计$d_i̸=1$的点
对于每一个根（即选中的那个点），设$de{p}_i$为根到$i$点的距离，$f{a}_i$为$i$号点的父亲
每当有一个节点$i$满足$de{p}_i\ge g_i$并且$de{p}_{f{a}_i}<g_{f{a}_i}$，那么当前根的答案加一
然后这个统计大概是$\Theta (n^2)$的
然后考虑优化
我们发现对于$de{p}_i\ge g_i$的节点的存在都在联通子树中
每个联通子树贡献$1$的答案（树根贡献）
如果我们可以快速计数就可以获取答案
然后这个时候有一个很巧妙的构造
考场上我并没有想到这个
对于一个$m$个点的子树，其边数是$m-1$条
我们发现对于这个子树$$\sum d_i=2\ast (m-1)+1$$
我们又发现$$\sum 1=m$$
所以$$\begin{array}{rl}\sum d_i& =2\ast (m-1)+1\\ \sum d_i& =2\ast m-1\\ 1& =2\ast m-\sum d_i\\ 1& =\sum (2-d_i)\end{array}$$
刚好符合我们想要的
所以我们现在要求的就是：$$\sum _{i=1}^n[de{p}_i\ge g_i](2-d_i)$$
我们发现$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n(2-d_i)& =\sum _{i=1}^{n}2-\sum _{i=1}^n{d}_i\\ & =2\ast n-2\ast (n-1)\\ & =2\end{array}$$
然后我们要求的就成了$$2-\sum _{i=1}^n[de{p}_i<g_i](2-d_i)$$
设点$u$的答案为$an{s}_u$
$$an{s}_u=2-\sum _{v=1}^n[dis(u,v)<g_v](2-d_v)$$
然后就可以使用点分治
我们点分的时候每次计算经过当前分治重心的路径点对$(u,v)$
设点$i$与分治重心的距离为$p_i$
$$dis(u,v)=p_u+p_v$$
然后
$$dis(u,v)<g_v\iff p_u+p_v<g_v\iff p_u<g_v-p_v$$
用树状数组维护即可
复杂度$\Theta (nlo{g}^{2}n)$

代码

贴上AC代码

#include
#include
#include
#include
namespace fast_IO
{
    const int IN_LEN=10000000,OUT_LEN=10000000;
    char ibuf[IN_LEN],obuf[OUT_LEN],*ih=ibuf+IN_LEN,*oh=obuf,*lastin=ibuf+IN_LEN,*lastout=obuf+OUT_LEN-1;
    inline char getchar_(){return (ih==lastin)&&(lastin=(ih=ibuf)+fread(ibuf,1,IN_LEN,stdin),ih==lastin)?EOF:*ih++;}
    inline void putchar_(const char x){if(oh==lastout)fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout),oh=obuf;*oh++=x;}
    inline void flush(){fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout);}
}
using namespace fast_IO;
#define getchar() getchar_()
#define putchar(x) putchar_((x))
typedef long long LL;
#define rg register
template <typename T> inline T max(const T a,const T b){return a>b?a:b;}
template <typename T> inline T min(const T a,const T b){return a<b?a:b;}
template <typename T> inline void mind(T&a,const T b){a=a<b?a:b;}
template <typename T> inline void maxd(T&a,const T b){a=a>b?a:b;}
template <typename T> inline T abs(const T a){return a>0?a:-a;}
template <typename T> inline void swap(T&a,T&b){T c=a;a=b;b=c;}
template <typename T> inline void swap(T*a,T*b){T c=a;a=b;b=c;}
template <typename T> inline T gcd(const T a,const T b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);}
template <typename T> inline T square(const T x){return x*x;};
template <typename T> inline void read(T&x)
{
    char cu=getchar();x=0;bool fla=0;
    while(!isdigit(cu)){if(cu=='-')fla=1;cu=getchar();}
    while(isdigit(cu))x=x*10+cu-'0',cu=getchar();
    if(fla)x=-x;  
}
template <typename T> void printe(const T x)
{
    if(x>=10)printe(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
template <typename T> inline void print(const T x)
{
    if(x<0)putchar('-'),printe(-x);
    else printe(x);
}
const int maxn=70001,maxm=140002,INF=0x7f7f7f7f;
int n,d[maxn];
int head[maxn],nxt[maxm],tow[maxm],tmp=1;
int fi[maxn];
inline void addb(const int u,const int v)
{
    tmp++;
    nxt[tmp]=head[u];
    head[u]=tmp;
    tow[tmp]=v;
}
void dfs1(const int  u,const int fa)
{
    for(rg int i=head[u];i;i=nxt[i])
    {
        const int v=tow[i];
        if(v==fa)continue;
        dfs1(v,u);
        mind(fi[u],fi[v]+1);
    }
    if(fi[u]==INF)fi[u]=0;
}
void dfs2(const int  u,const int fa)
{
    for(rg int i=head[u];i;i=nxt[i])
    {
        const int v=tow[i];
        if(v==fa)continue;
        mind(fi[v],fi[u]+1);
        dfs2(v,u);
    }
}
bool Hash[maxn];int son[maxn],minn,root,size;
int ans[maxn];
void getroot(const int u,const int fa)
{
    son[u]=1;
    int maxx=0;
    for(rg int i=head[u];i;i=nxt[i])
    {
        const int v=tow[i];
        if(v==fa||Hash[v])continue;
        getroot(v,u);
        son[u]+=son[v];
        maxd(maxx,son[v]);
    }
    maxd(maxx,size-son[u]);
    if(maxx<minn)minn=maxx,root=u;
}
int Q[maxn],tot,dis[maxn];
void dfs(const int u,const int fa)
{
    Q[++tot]=u; 
    for(rg int i=head[u];i;i=nxt[i])
    {
        const int v=tow[i];
        if(v==fa||Hash[v])continue;
        dis[v]=dis[u]+1,dfs(v,u);
    }
}
int tree[maxn];
inline int lowbit(const int x){return x&-x;}
inline void add(int whe,const int man)
{
    while(whe<=n)
    {
        tree[whe]+=man;
        whe+=lowbit(whe);
    }
}
inline int qz(int whe)
{
    rg int res=0;
    while(whe)
    {
        res+=tree[whe];
        whe^=lowbit(whe);
    }
    return res;
}
void calc(const int u,const int sign,const int G)
{
    tot=0,dis[u]=G;
    dfs(u,u);
    for(rg int i=1;i<=tot;i++)
    {
        const int v=Q[i];
        add(n-fi[v]+dis[v],2-d[v]);
    }
    for(rg int i=1;i<=tot;i++)
    {
        const int v=Q[i];
        ans[v]+=sign*qz(n-dis[v]-1);
    }
    for(rg int i=1;i<=tot;i++)
    {
        const int v=Q[i];
        add(n-fi[v]+dis[v],d[v]-2);
    }
}
void solve(const int u,const int SIZE,const int SON)
{
    Hash[u]=1;
    calc(u,-1,0);
    for(rg int i=head[u];i;i=nxt[i])
    {
        const int v=tow[i];
        if(Hash[v])continue;
        calc(v,1,1);
        minn=INF,size=son[v];
        if(size>SON)size=SIZE-SON;
        getroot(v,u),solve(root,size,son[root]);
    }
}
int main()
{
    memset(fi,0x7f,sizeof(fi));
    read(n);
    for(rg int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v;read(u),read(v);
        addb(u,v),addb(v,u);
        d[u]++,d[v]++;
    }
    int RT=0;
    for(rg int i=1;i<=n;i++)if(d[i]>1)RT=i;
    dfs1(RT,RT);
    dfs2(RT,RT);
    for(rg int i=1;i<=n;i++)ans[i]=2;
    minn=INF,size=n,getroot(1,1),solve(root,size,son[root]);
    for(rg int i=1;i<=n;i++)print(d[i]==1?1:ans[i]),putchar('\n');
    return flush(),0;
}

总结

构造很巧妙，一个很好的idea
然后点分治比较裸，很清真