[补充内容]关于使用matlab进行方程组求解的线性代数相关知识补充——行列式

前言

根据李永乐老师的线代课程学习。主要记载行列式相关的性质、定理等知识，不会进行定理推导、证明。

行列式

1.行列式的概念

1.1 二阶三阶行列式

计算这样的一个方程组最基础的可以使用两个方程进行加减消元运算，

或者

不难发现，运算后出现了系数相乘的状况。
这样就产生了行列式的概念。
一个二阶行列式的集合意义是一个平行四边形的面积。

对于这个行列式而言，ad为主对角线，cb为副对角线。
因此，对还是那个面加减消元的式子进行变换，可以得：

再将左侧的行列式除向右侧即可计算x和y。这就是使用行列式计算二元方程组，这里只是对式子进行了转化，并非求解方程组的通用方法。
利用一个例子来详细描述解方程组的步骤
解下面的方程组

先验证这个方程组是否有唯一解。（当对应的系数行列式的值不为0，即方程组有唯一解）

然后对应上面的求解过程对应得abcd数值。再带入即可，可以求得x=3,y=-2。
那么如果是一个三元方程组呢？

还是通过加减消元的方法，不难得出计算后的式子中会包含三个系数相乘的情况。
这样就形成了三阶行列式（三阶行列式的集合意义是一个平行六面体的体积）。

对于二阶、三阶行列式的计算有对角线法则通过主对角线减副对角线即可，但对高阶行列式不适用。对于高级行列式的计算将在下一小节中进行讲解。

1.2 排列、逆序、逆序数

排列：由1,2,3,4…n的一个有序数组被称为n阶（级）排列。通常使用J₁.J₂,J₃…J_n表示这一排列。例如： 2，4，1，3 这就是一个四（阶）级排列。
逆序：在一个排列中，如果一个大的数排列到一个小的数前面（如：5,4），就称这两个数构成一个逆序。
逆序数：一个排列中逆序的总数被称为逆序数。用如下符号表示一个排列的逆序数。

如果一个排列的逆序数是偶数，那么就称这个排列是偶排列；如果是奇数就称为奇排列。
举个例子帮助理解
这里对1 3 2而言，1 3 是顺序，3 2是逆序，所以逆序数=0+1=1

如果一个数组是按1,2,3…n排列的那么它称为自然排列，是一个偶排列。
定理：对换改变行列的奇偶性
  何为对换？就是1，2换成2，1
任意一个n阶排列经过若干次对换，一定可以变换成为自然排列
由此，如果有如下排列，它还可以按行顺序排列，也可以按列顺序排列。

让我们计算一下这三种情况下的逆序数。
可以得出：第一个逆序数=行逆序数+列逆序数=7
     第二个逆序数=列逆序数=3
     第三个逆序数=行逆序数=3
虽然数值不相同，但他们有同一个特点，都是奇数。（这个内容将在高阶行列式计算中用到）
定理：在全部n阶排列当中，奇排列与偶排列各占一半

1.3 n阶行列式性质

了解了这些，就可以讨论高级行列式的计算问题了。
对于任意n阶行列式可以进行这样的计算：

对于求和的a，它们是不同行不同列的元素。各项求和，其项数为n!项。
特殊情况：
一个上三角行列式等于主对角线元素乘积。

对于这种情况，行列式的模依旧是对角线乘积，但是它的正负取决于行列式的阶数。

2.行列式的性质

1.行列互换，行列式的值不变。

2.某一行有公因数K，可以把K提出。（另有推论，若某行为0，则行列式为0，可以把k看做0处理）
3.调换行列式两行的位置 ，行列式变号。（列同理）

4.某行元素都是两个数的和，可以将这个行列式拆成两个行列式之和。

5.某行的k倍加到另一行，行列式值不变。

3.行（列）式按行展开

3.1 代数余子式

余子式
例如去掉第2行，第n-1列。剩余元素组成的行列式就称为a_{2 n-1}的代余子式即M_{2 n-1}

代数余子式
在余子式的基础上，前面添加系数
前面的（2+n-1）是对应a_{2 n-1}。（ ）内的通用写法是 i+j ,i，j分别表示i行j列的代数余子式。记作A_ij。A_ij大小与a_ij无关。

3.2行列式展开

定理：一个n阶行列式，它的值等于任意一行（列）元素与它对应别的代数余子式相乘之和

对于此方法的应用，显然当展开行含有0越多，其计算量越小。因此展开前需要根据行列式的性质对行列式进行变换以便在一行中尽可能的多出现0。
定理：行列式某一行（列）所有元素与其他行（列）的代数余子式相乘的和为零
范德蒙德行列式
注意，最后一行是n-1次方，这样才是一个方形的。

拉普拉斯展开式
这里面的ABC0均是一个小的行列式。

4.克拉默法则

对于方程组：

它的行列式如果满足：

那么这个方程组有唯一解。
其中D₁表示将第一列换成b的列。

推论
对于一个其次方程组

这个方程组必有0解。进一步讲，如果他的行列式等于0，则只有0解。