MATLAB之矩阵及相关求解

矩阵相关知识：

zeros(m,n) ：m行n列零矩阵
ones(m,n)：m行n列一矩阵
eye(m,n)：m行n列单位阵
rand(m,n)：m行n列随机矩阵
diag([ 1 2 3 4 ])：对角矩阵
注：当m=n时，可只写一个

行列式：

d=det(A)

A=[1 2 3 5; 8 9 6 5 ; 5 8 41 32; 8 9 63 54];
det(A)

矩阵的秩：

rank(A) = r

格式：
r = rank(A) %默认精度
r=rank(A,a) %给定精度
行列式不等于0的子式的最大阶次。

矩阵的逆：

C=inv(A)

矩阵除法：

x=A\B

A=[1 2 3 5; 8 9 6 5 ; 5 8 41 32; 8 9 63 54];
B=[5 2 6 4 ]’;
x=A\B

解线性方程组：

（1）判断可解性（增广矩阵）：

A=[1 2 3 4; 2 2 1 1; 2 4 6 8; 4 4 2 2 ];
B=[1 3 2 6]’;
C=[A B];
[rank(A),rank(C )]

ans=2 2

Z=null(A,‘r’) %解出规范化的化零空间

Z=
2.0000 3.0000
-2.5000 -3.5000
1.0000 0
0 1.0000

x0=pinv(A) *B % 得出一个特解

x0=
0.9542
0.7328
-0.0763
-0.2977
以下是全部解：

a1=randn(1);
a2=rand(1); %取不同分布的随机数
x=a1* Z(:,1)+a2* Z(:,2)+x0;
norm(A*x-B)

ans=
4.4409e-015

LU分解(快速求特解)：

A * X = b 变成 L * U * X = b

A=[4 2 -1; 3 -1 2; 11 3 0];
B=[2 10 8]’;
D=det(A);
[L,U]=lu(A);
X =U \ (L \ B )

QR分解：

A=[4 2 -1; 3 -1 2; 11 3 0];
B=[2 10 8]’;
[Q,R]=qr(A);
X=R\ (Q\B)

Cholesky分解在这不做过多解释了。

三个变换：

（1）上三角变换： triu(A,1)
（2）对角变换： diag(A)
（3）下三角变换：tril(A,-1)

特征值问题：

（1）求解特征值和特征向量：[V,D]=eig(A)
（2）求特征多项式：C=poly(A)