MATLAB学习笔记（六）线性方程和线性系统

笔记中某些代码和图片来自郭彦甫老师的视频和课件
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一：Linear equation线性方程

1.1 消元法

1.1.1高斯消元法

Ax=b
增广矩阵——上三角矩阵——x3,x2,x1

• R=rref（【A b】），R是化简来的上三角矩阵

1.1.2 LU factorization

A=LU，把A分解成两个矩阵，L（lower）是对角线为1的下三角，U（upper）是上三角

• 【L，U，P】=lu（A）
• lnv（A）：A的逆矩阵
  

1.1.3 直接求解

• 左除（\）
  

1.1.4 一些常用的函数

• [Q,R]=qr(A)：A分解为：A = QR ，这里的Q是正交矩阵（意味着QTQ = I）而R是上三角矩阵。
• [L,D,P] = ldl(A)：ldl 仅引用 A的对角和下三角，并假定上三角是下三角的复共轭转置。L是对角线为1的下三角，P副对角线为1的单位矩阵，D是对角矩阵（？）
• [L,U,P] = ilu(A,setup)：ilu - 不完全 LU 分解
• R = chol(A)：基于矩阵 A （矩阵 A 必须是正定矩阵。）的对角线和上三角形生成上三角矩阵 R，满足方程 R’*R=A。
• [U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)：gsvd - 广义奇异值分解， 此 MATLAB 函数 返回酉矩阵 U 和 V、（通常）方阵 X 以及非负对角矩阵 C 和 S，以使A = UCX’ B = VSX’ C’*C +S’*S = I

1.2 Cramer’s method克莱默法则

• inv（A）：A的逆矩阵
• det（A）：A行列式的值。当det（A）=0时，就没有逆矩阵
  
• cond（A）：会得到A矩阵的k值，k值越小矩阵越健康？
  

二：Linear system线性系统

• 线性系统更关心输出的x,y与系统的关系
• 【v,d】=eig（A）：v是矩阵A的特征向量（列矢量），d是对应的特征值。
• expm（）：expm函数：求以e为底的矩阵指数函数