[LeetCode]#4盛最多水的容器：双指针法及其证明

问题

给定 n 个非负整数 a1，a2，…，an，每个数代表坐标中的一个点 (i, ai) 。在坐标内画 n 条垂直线，垂直线 i 的两个端点分别为 (i, ai) 和 (i, 0)。找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

说明：你不能倾斜容器，且 n 的值至少为 2。

图中垂直线代表输入数组 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情况下，容器能够容纳水（表示为蓝色部分）的最大值为 49。

示例:

输入: [1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出: 49

算法

我们在数组中使用两个指针，一个放在开始，一个置于末尾。在每一步中，我们将指向较短线段的指针向较长的线段那端移动；同时，我们记录下所有步骤里最大的面积: maxSquare。

证明

我们将所有情况用一棵递归树列出，如下：

以 m , n 表示前后指针，H[m] 表示位置 m 处的高度，n 是输入的数据长度。S(m,n) = min(H[m],H[n]) * (n-m) 是 (m,n) 对的面积。h[m,n] 表示当前位置的树高, h = n-m 。

红色圈出部分为双指针法可能的一条路径（路径并不唯一）。

这意味着：在双指针路径的红圈外任意一个情况的 S(m,n) 均小于 maxSquare。

下面我们来证明是否一定如此。

反证法

假设，存在一个双指针路径之外的 S(m,n) > maxSquare。则：
$$S\left(m,n\right)=\{\begin{array}{l}H(m)\ast hH(m)<H(n)\\ H(n)\ast hH(n)<H(m)\end{array}$$
我们观察递归树可以发现，当 (m,n) 在双指针路径的左边时，在路径上必定存在 (m,X) （可能会有多个），且 (m,X) 在 (m,n) 的上方；同理，当 (m,n) 在双指针路径的右边时，在路径上也必定存在 (X,n) ，且 (X,n) 在 (m,n) 的上方。

(1) 对于 (m,n) 在路径左边的情况

根据观察，由于路径上存在 (m,X) ，且 (m,X) 在 (m,n) 的上方，即：h[m,X]>h[m,n]。

❗ 由于若对任意一个 (m,X) ，H(X) 恒成立的话，(m,n) 将不会在路径的左边，而是在路径中。故在路径上必定存在一个且仅且一个 (m,α) 满足： H(α)>H(m) ，S(m,α) = H(m) * h[m,α]。

由于h[m,α]>h[m,n] ，而若 H(m)，这与我们的假设 S(m,n) > maxSquare 不符合。

所以我们可以得到：H(α)>H(m)>H(n) ，S(m,n) = H(n) * h(m,n) 。而 h[m,α]>h[m,n]，即：S(m,α)>S(m,n)，仍然与我们的假设 S(m,n) > maxSquare 不符合。故假设不成立！

(2) 对于 (m,n) 在路径右边的情况

同理就略了…

由此，我们可以确定双指针方法是正确的。代码如下：

/**
 * @param {number[]} height
 * @return {number}
 */
var maxArea = function(height) {
    let i = 0, j = height.length-1;
    let square, max = 0;
    while(j-i >= 1){
        if(height[i]>height[j]){
            square = height[j] * (j-i);
            j--;
        }else{
            square = height[i] * (j-i);
            i++;
        }
        max = Math.max(square,max);
    }
    return max;
};