123. 买卖股票的最佳时机 III - 力扣（LeetCode）

题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2:
输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:
输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

题解1

前面做过的两道股票交易的题目，一个只能交易一次，另一个能交易无限次。
这里能交易两次，看是否复用之前的思路。交易两次相当于将整个区间分成两个子区间，对每个子区间交易一次，求取最大利益。而在子区间的交易转换成121. 买卖股票的最佳时机这道题。
第一个思路是对每个子区间分别求最大利益，时间复杂度为o(n)，而区间划分成两个区间有n+1种方式。所以总的时间复杂度为$o(n^2)$。

代码1

/*
时间复杂度为o(n^2)
空间复杂度为o(1)
*/
class Solution {
public:
    int deal(vector<int>&prices, int beg, int end){//求取beg到end间的最大利益
        int res = 0;
        if(beg >= end){
            return 0;
        }
        else{
            int maxVal = 0;
            for(int i = end; i  >= beg + 1; --i){
                if(i == end){
                    maxVal = prices[i];
                }
                else{
                    if(maxVal < prices[i]){
                        maxVal = prices[i];
                    }
                }
                if(maxVal  - prices[i - 1] > res){
                    res = maxVal - prices[i - 1];
                }
            }
            return res;
        }
    }
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int res = 0, len = prices.size();
        for(int i = 0; i < len - 1; ++i){//二分为子区间求最大利益
            res = max(res,  deal(prices, 0, i)+deal(prices, i + 1, len- 1));
        }
        res = max(res, deal(prices, 0, len - 1));//上面二分不包含，对整个区间求最大利益。
        return res;
    }
};

执行结果1

超时！

题解2

其实仔细观察两个子区间，发现它们并不是任意区间，而是一个区间开始位置确定[beg, i]，另外一个区间结束位置确定[i, end]。而在121. 买卖股票的最佳时机中，可以在o(n)内对[i, end]区间的最大利益求解。
既然$o(n^2)$会超时，那么可以尝试用空间换时间，先数组存下[i, end]的最大利益。同理，我们也可以在o(n)内对[beg, i]求解最大利益。也用一个数组存下。最后再循环二分区间，求取两次交易的最大值。
时间复杂度为o(n)， 空间复杂度为o(n)

代码2

class Solution {
public:
    
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int res = 0, len = prices.size(), minVal = 0, maxVal = 0;
        //profit1存储从左到右的最大利益，profit2存储从右到左的最大利益
        vector<int>profit1(len, 0), profit2(len, 0);
        if(len == 0){
            return 0;
        }
        minVal = prices[0], res = 0;
        for(int i = 1; i < len; ++i){//求取[beg, i]的最大利益
            if(prices[i - 1] < minVal){
                minVal = prices[i - 1];
            }
            profit1[i] = prices[i] - minVal > res?res = prices[i] - minVal:res;
        }
        maxVal = prices[len - 1], res = 0;
        for(int i = len - 2; i >= 0; --i){//求取[i, end]的最大利益
            if(prices[i + 1] > maxVal){
                maxVal = prices[i + 1];
            }
            profit2[i] = maxVal - prices[i] > res?res = maxVal - prices[i]:res;
        }
        res = 0;
        for(int i = 0; i < len - 1; ++i){//二分求两次交易的最大利益
            res = max(res, profit1[i] + profit2[i + 1]);
        }
        res = max(res, profit1[len - 1]);
        return res;
    }
};

执行结果2

题解3

动态规划
定义了三维数组dp[i][j][k]。
i表示第几天，j表示至第i天目前的交易次数，k表示持有股票状态（没有股票或有股票）。
eg：dp[3][1][0]表示到第3天交易一次，没有股票的最大收益。出现这种状态有两种情况：

1. 第2天没有股票
2. 第2天有股票，在第3天卖出。
   得出状态方程如公式1
   $$\{\begin{array}{l}dp[i][j][0]=max(dp[i-1][j][0],dp[i-1][j][1]+prices[i]);//第i天交易到第j次，不持股\\ dp[i][j][1]=max(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j-1][0]-prices[i]);//第i天交易到第j次，持股\end{array}$$

代码3

class Solution {
public:
    
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
       const int n = prices.size();//多少天
        if(n == 0){//特殊情况
            return 0;
        }
        int dp[n][3][2] = {0};
        for(int i = 0; i < n; ++i){//第i天
            for(int j = 2; j >=1; --j){//交易了几次
                if(i == 0){
                    dp[i][j][0] = 0;
                    dp[i][j][1] = -prices[i];
                }
                else{//状态转换方程
                    dp[i][j][0] = max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]);//第i天交易到第j次，不持股
                    dp[i][j][1] = max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);//第i天交易到第j次，持股
                }
            }
        }
        return dp[n - 1][2][0];
    }
};

执行结果3