P3258 [JLOI2014] 松鼠的新家 题解

P3258 [JLOI2014] 松鼠的新家 题解

洛谷 P3258

题目

松鼠的新家是一棵树，前几天刚刚装修了新家，新家有 $n$ 个房间，并且有 $n$−1 根树枝连接，每个房间都可以相互到达，且俩个房间之间的路线都是唯一的。天哪，他居然真的住在“树”上。

松鼠想邀请小熊前来参观，并且还指定一份参观指南，他希望小熊能够按照他的指南顺序，先去 $a$ 1​，再去 $a$ 2​，……，最后到 $an$​，去参观新家。可是这样会导致重复走很多房间，懒惰的维尼不停地推辞。可是松鼠告诉他，每走到一个房间，他就可以从房间拿一块糖果吃。

小熊是个馋家伙，立马就答应了。现在松鼠希望知道为了保证维尼有糖果吃，他需要在每一个房间各放至少多少个糖果。

因为松鼠参观指南上的最后一个房间 $an$ 是餐厅，餐厅里他准备了丰盛的大餐，所以当维尼在参观的最后到达餐厅时就不需要再拿糖果吃了。

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输入

第一行一个正整数 $n$，表示房间个数第二行 $n$ 个正整数，依次描述 $a$ 1,$a$ 2,⋯ ,$an$​。

接下来 $n$−1 行，每行两个正整数 $x$,$y$，表示标号 $x$ 和 $y$ 的两个房间之间有树枝相连。

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输出

一共 $n$ 行，第 $i$ 行输出标号为 $i$ 的房间至少需要放多少个糖果，才能让小熊有糖果吃。

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样例

input
5
1 4 5 3 2
1 2
2 4
2 3
4 5

output
1
2
1
2
1

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说明/提示

对于全部的数据，2≤$n$≤3×10^5，1≤$ai$≤$n$。

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解题思路

本题其实就是求两个点的最近公共祖先
在到达最近公共祖先的路径上的所有点+1
↑ 数据量告诉我们，遍历最近公共祖先的路径一个一个加，必爆无疑
用线段树或者树状数组也无法好好的解决
树上的路径无法形成一个区间
这时树上差分就很有用了
差分的优点

• 算法复杂度超低
• 适用于一切 连续的 “线段”（也就是一段路径）

差分解惑小时间

可以看到，2号节点加的值， 在5号节点减去
可以证明：差分数组的的定义：$a$[ $i$ ] = a[ $i$ - $1$ ] + 差分数组[ $i$ ]

总结出差分的思想方法：
如果有一个区间内的权值发生相同的改变的时候，我们可以采用差分的思想方法
而差分的思想方法在于不直接改变区间内的值，而是改变区间[ $L$ , $r$ ] 对于 区间 [ 0, $L$ - 1 ] & 区间[ $r$ + 1, $R$]的 相对大小关系
总结出一点：

差分就是相对改变 ！

差分就是相对改变！！

差分就是相对改变！！！

我们在树上差分
最后的求值
是累加差分的数组和所有子节点的值
因为$LCA$被加了两遍，所以要减1
而$LCA$的父节点不在路径上
但累加了$LCA$，所以也要减1

鸣谢cxy巨佬对差分的讲解
orz

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代码

#include
#include
using namespace std;
struct hhx{
	int to,next;
}a[1000010];
int n,t,f[500010][33],dep[500010],c[500010],head[500010],d[500010];
void add(int x,int y)
{
	 a[++t].to = y;
	 a[t].next = head[x];
	 head[x] = t;
}
void dfs(int dd,int fa)
{
	 f[dd][0] = fa;
	 dep[dd] = dep[fa]+1;
	 for (int i = 1; i <= 30; i++)
	     f[dd][i] = f[f[dd][i-1]][i-1];
	 for (int i = head[dd]; i; i = a[i].next)
	     if (a[i].to != fa)
	        dfs(a[i].to,dd);
}
int lca(int x,int y)
{
	 if (dep[x] < dep[y])
	    swap(x,y);
	 for (int i = 30; i >= 0; i--)
	     if (dep[f[x][i]] >= dep[y]) 
	        x = f[x][i];
	 if (x == y)
	    return x;
	 for (int i = 30; i >= 0; i--)
	     if (f[x][i] != f[y][i])
	     {
	     	x = f[x][i];
	     	y = f[y][i];
	     }
	 return f[x][0];
}
void qiuhe(int dd,int fa)
{ 
	 for (int i = head[dd]; i; i=a[i].next)
	 	 if (a[i].to != fa)
	 	 {
	 	    qiuhe(a[i].to,dd);
	 	    d[dd]+=d[a[i].to];
	 	 }
}
int main()
{
	int x,y;
	scanf("%d",&n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	    scanf("%d",&c[i]);
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
		add(y,x);  //建双向边 
	}
	dfs(1,0);   //lca的预处理 
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		x=lca(c[i],c[i+1]);  //lca查询 
		d[f[x][0]]--;  
		d[x]--;
		d[c[i]]++;
		d[c[i+1]]++;   //差分 
	}
	qiuhe(1,0);  //做完差分后求和 
	for (int i = 2; i <= n; i++) d[c[i]]--;  //起点多加的减回去 
	for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n",d[i]);
	return 0;
}