洛谷 P1880 [NOI1995]石子合并

题目描述

在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.

输入输出格式

输入格式：

 

数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.

 

输出格式：

 

输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分.

 

输入输出样例

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4
4 5 9 4

输出样例#1： 复制

43
54

解法：区间合并

区间合并的模版经典题（然而我是第一次做）

令dp[i][j]表示将i-j内的所有石子合并成一堆后的最值

那么显然我们可以将这个区间划分为两部分，可以由这两部分组合而来。

dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum(i, j) 

得到状态转移方程以后我们就要开始考虑怎么写了。

显然在计算长度较大的区间时长度较小的区间已经被计算出来了。

所以我们考虑枚举长度，再枚举起始位置即可。

那么计算一段区间的和我们可以直接用前缀和。

还有一个问题由于这一堆石子是一个环而不是一条链，所以我们将原序列扩充一遍，最后枚举各位置长度为n区间取到最值即可。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define pii pair
#define vi vector
#define ll long long
#define eps 1e-3
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 10;
ll dpmn[maxn][maxn];//dp[i][j]表示将第i到j堆石子合并能产生的最大值
ll dpmx[maxn][maxn];//dp[i][j]表示将第i到j堆石子合并能产生的最小值
int a[maxn];
ll sum[maxn];
int main()
{
    //freopen("/Users/vector/Desktop/in", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
    }
    for(int i = n + 1; i <= 2 * n; i++)
    {
        a[i] = a[i - n];
        sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
    }
    n *= 2;
    for (int len = 2; len <= n / 2; len++)
    {
        for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++)
        {
            //区间为[i, i + len - 1]
            dpmn[i][i + len - 1] = INT_MAX;
            for(int j = i; j < i + len - 1; j++)
            {
                dpmx[i][i + len - 1] = max(dpmx[i][i + len - 1],dpmx[i][j] + dpmx[j + 1][i + len - 1] + sum[i + len - 1] - sum[i - 1]);
                dpmn[i][i + len - 1] = min(dpmn[i][i + len - 1],dpmn[i][j] + dpmn[j + 1][i + len - 1] + sum[i + len - 1] - sum[i - 1]);
            }
        }
    }
    ll mn = INT_MAX, mx = INT_MIN;
    for(int i = 1; i <= n / 2; i++)
    {
        mn = min(mn, dpmn[i][i + n / 2 - 1]);
        mx = max(mx, dpmx[i][i + n / 2 - 1]);
    }
    cout << mn << '\n' << mx << endl;
    return 0;
}