高中数学：函数客观题的几种解法

1、特殊值法

特值可以一个特殊数、也可以是一些特殊式子，它借助于“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理。通过特值开道，使看上去很难进行一般性求解的问题，在特值的“作用”下产生结论。

例1、设函数在R上的导函数为,且，下面的不等式在R内恒成立的是

A、

B、

C、

D、

解析：首先令，得，于是，排除B，D。 

再令，显然，满足题设条件，此时，不一定大于零，即选项C并非在R内恒成立，于是也被排除。故选A。

例2、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是

A.0

B.

C.1

D.

解析：令，得，结合是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，得；再令，得

由得，

再令，得；再令，得；

那么于是选A。

2、构造方程法

方程思想是重要的数学思想，方程与函数又是一对“密友”，函数中藏着方程、方程里含着函数是常有的事。遇到递推或含有明显变量的式子，想一想方程是应该的，也许它引领你层层深入，最终产生结论。

例3、定义在R上的函数满足，则的值为(  )

A.-1

B.0

C.1

D.2

解析：由，得两式相加得，显然

那么，选C。

例4、已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：由得，

即，消去得∴，∴切线方程为，即选A

3、数形结合法

“数少形时缺直观，形少数时难入微”它准确的告诉我们：数形结合，相得益彰；利用数、式进行深入细致的分析；利用图形直观又可以看出数、式的内在关系。

例5、已知函数若则实数的取值范围是A、

_B、

_C、

_D、

解析：作出的图像，如右图

由图像可知在定义域内是增函数

于是，由得

故选择C。

例6、若满足, 满足, +＝

(A)

(B)3

(C) 

(D)4

 

解析：由，令则是两函数图像交点的横坐标。又由，

再令，则两函数图像交点的横坐标。

由于与的图像关于对称，

结合图像，易知，联立与

得，选C。

4、抓不变量解题

一个看似复杂的问题，细心观察之后，也许可以发现其中不变的东西，此时，我们可以建立在这些“不变”的基础上，以静制动。

例7、若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于

A．或

B．或

C．或

D．或

解析：设过的直线与相切于点，所以切线方程为，即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.

例8、设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为

A．

B．

C．

D．

解析：由已知，而，所以故选A。

5、特征法

特征，是一事物区别于它事物的本质，抓住特征，就等于抓住了本质。面对图形问题，我们要认真观察、仔细分析，也许一、两个特征就是“破”题的关键。

例9、设＜b,函数的图像可能是

解析：看看函数式，可以发现时，，再看图形特征，立即排除A、B；再看时，，再看图形，排除D，于是选C。

例10、函数的图像大致为(   ). 

解析：首先由函数的定义域可得，看看图形，立即排除C、D。再由即函数递减，选A。

6、替换法

替换，是一种策略，它可以变生疏为熟悉、变复杂为简单、变抽象为具体；当我们面对抽象、复杂问题时，若能灵活替换，可以说：攻防自如。

例11、函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(    )

(A)是偶函数

(B)是奇函数

(C)

(D)是奇函数

解析：与都是奇函数，得 

 

由

即是奇函数。故选D

例12、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(    ). 

A.

B.

C.

D.

解析：因为满足，所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.

7、最值法

最值是函数的重要特征量，很多命题人总是喜欢在此处作文章。请看：

例13、设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数取函数。若对任意的，恒有=，则

A．K的最大值为2

B. K的最小值为2

C．K的最大值为1

D. K的最小值为1

解析：由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，则必有，于是。故选D项。

例14、把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为（   ）

A．

B．

C．

D．

_{解析：设曲线的解析式为}

则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是。

8.本质法

“万变不离其宗”，不论如何创新，本质的东西是改不了的。近年试题的创新力度大、新题层出不穷，当我们遇到创新问题时，一定要注意抓住本质，以本质为切入点，也许创新题就不是那么难了。

例15、对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是 (   )

A．若，，则

B．若，，且，则

 

C．若，，则 21世纪教育网   

 

D．若，，且，则

解析：对于，即有，令，有，不妨设，，即有，得，即．

例16、设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为

A．

B．

C．

D．不能确定

解析：由，，，，选B

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