1025. 除数博弈

题目描述：

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

• 选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
• 用 N - x 替换黑板上的数字 N 。

如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

算法1：动态规划

基本思路：

• 将所有的小于等于N的解都找出来，基于前面的，递推后面的。
• 状态转移: 如果i的约数里面有存在为False的（即输掉的情况），则当前i应为True；如果没有，则为False。

class Solution {
public:
    bool divisorGame(int N) {
        if(N <= 0)
            return false;
        else if(N==1)
            return false;
        else if(N==2)
            return true;
        else if(N==3)
            return false;
        else
        {
            vectordp(N+1);
            dp[0] = false;
            dp[1] = false;
            dp[2] = true;
            dp[3] = false;
            for(int i=4; i<=N; i++)
            {
                int flag = 0;
                for(int j=1; j<=sqrt(i); j++)
                {
                    if(i%j == 0)
                    {
                        if(dp[i-j] == false)
                        {
                            dp[i] = true;
                            flag = 1;
                            break;
                        }
                            
                    }
                }
                if(flag == 0)
                    dp[i] = false;
            }
            return dp[N];
        }
    }
};

算法2：归纳

基本思路：

• 最终结果应该是占到2的赢，占到1的输；
• 若当前为奇数，奇数的约数只能是奇数或者1，因此下一个一定是偶数；
• 若当前为偶数， 偶数的约数可以是奇数可以是偶数也可以是1，因此直接减1，则下一个是奇数；
• 因此，奇则输，偶则赢。

class Solution {
public:
    bool divisorGame(int N) {
        return N%2 == 0;
    }
};