【题解】CF#896 D-Nephren Runs a Cinema

　　容易发现这些 vip 用户并没什么用，所以考虑枚举手持50元与100元的人共有多少个。设手持50元的人 \(a\) 个，手持100元的人 \(a - k\) 个，那么一共是 \(2*a - k\) 个人，最后手上会剩余 \(k\) 张50元钞票。用卡特兰数计算得到在这种情况下的方案数就是：

\((\binom{2 * a - k}{a} - \binom{2 * a - k}{a + 1}) * \binom{n}{2 * a - k}\)

其中 \(l <= k <= r, 1 <= 2 * a - k <= n\)。

把组合数分开计算，得到答案其实是两部分的和：

\((\binom{2 * a - k}{a} * \binom{n}{2 * a - k}\)

与 \(-\binom{2 * a - k}{a + 1} * \binom{n}{ 2 * a - k}\)

注意到这两个式子均可以化简\(\binom{n}{m} * \binom{m}{r} = \binom{n}{r} * \binom{n - m}{m - r}\)，

得到：

\(ans = \binom{n}{a}\binom{n - a}{a - k} - \binom{n}{a + 1} * \binom{n - a - 1}{a - k - 1}\)

分开计算两个部分的和，发现上部分是在计算 \(\sum \binom{n}{a}\binom{n - a}{a - k} (a\in [1, n], k \in [l, r])\)

而下部分则是在计算 \(\sum \binom{n}{a}\binom{n - a}{a - k - 2} (a\in [2, n + 1], k \in [l, r])\)

把中间同样的部分约去即可得到一个 \(O(n)\) 的式子，每一步需求解一个组合数。

　　然后问题是怎样求出 \(n\) 个对合数取模的组合数？常见思路利用扩展卢卡斯已经不可行，但鉴于此题 \(n\) 比较小，我们可以暴力拆分组合数中的阶乘数。对于与模数互质的部分利用欧拉定理求出逆元，照常处理；不互质的则计算上下约去了多少个质因子后暴力累乘贡献。

#include 
using namespace std;
#define maxn 200000
#define CNST 30
#define int long long
int n, P, L, R, ans, cnt, fac[maxn], finv[maxn]; 
int tot, a[maxn], num[maxn][CNST];

int read()
{
    int x = 0, k = 1;
    char c; c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') k = -1; c = getchar(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * k;
}

void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % P; if(x < 0) x += P; }
int Qpow(int x, int timer, int P)
{
    int base = 1;
    for(; timer; timer >>= 1, x = x * x % P)
        if(timer & 1) base = base * x % P;
    return base;
}

void Pre(int n) {
    int x = P, phi = P; fac[0] = finv[0] = 1;
    for(int i = 2; i * i <= x; i ++)
        if(x % i) continue;
        else { 
            phi = phi / i * (i - 1); a[++ cnt] = i; 
            while(!(x % i)) x /= i; 
        }
    if(x > 1) phi = phi / x * (x - 1), a[++ cnt] = x;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int t = i;
        for(int j = 1; j <= cnt; j ++) {
            num[i][j] = num[i - 1][j];
            while(!(t % a[j])) t /= a[j], num[i][j] ++;
        }
        fac[i] = fac[i - 1] * t % P;
        finv[i] = Qpow(fac[i], phi - 1, P);
    }
}

int Get_C(int n, int m)
{
    int ret = fac[n] * finv[m] % P * finv[n - m] % P, x, y; 
    if(n < 0 || m < 0 || n < m) return 0;
    for(int i = 1; i <= cnt; i ++) 
    {
        if(a[i] > n) break; 
        int cnt = num[n][i] - num[m][i] - num[n - m][i];
        ret = ret * Qpow(a[i], cnt, P) % P;
    }
    return ret;
}

signed main()
{
    n = read(), P = read(), L = read(), R = read();
    Pre(n + 5);
    for(int i = 0; i <= n; i ++)
    {
        if(L > i || R < 0) continue;
        int l = max(L, 0LL), r = min(i, R), t = Get_C(n, i);
        Up(ans, P - t * Get_C(n - i + 1, i - r - 1) % P);
        Up(ans, t * Get_C(n - i + 1, i - l) % P);
    }
    printf("%I64d\n", ans);
    return 0;
}

 

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