深入理解（下）凸函数

1. 凸函数的定义

1.1 凸函数的几何解释

所谓凸函数，其实指的是下凸函数，从几何意义上看，凸函数就是任意两点之间的弦（即这两点构成的线段）都在该函数图像（此处是指这两点之间的函数图像，而非全部的函数图像）的上方。

1.2 凸函数的数学解释

如果$\le$换成$<$，则是严格凸函数的数学定义。

Q：凸集的定义是什么？
凸集的几何解释：如果集合C中任意2个点$X_1，X_2$，其连线上的所有点都是集合C中的点，则C为凸集。

凸集的数学解释：对任何$X_1\in C,X_2\in C$，有$a{X}_1+(1-a)X_2\in C(0<a<1)$，则称C是凸集。

Q：为什么要求定义域是凸集？
只有定义域是凸集时，$\theta x+(1-\theta )y$才属于定义域，$f(\theta x+(1-\theta )y)$才有意义。

2. 凸函数的一阶特征

2.1 一阶特征的几何解释

在凸函数任何点画一条切线，在这条线上的每个点都将小于在函数f上的点，

2.2 一阶特征的数学解释

3. 凸函数的二阶特征

3.1 二阶特征的几何解释

在点x处函数图像具有正（向上）的曲率

3.2 二阶特征的数学解释