3.三角形外角定理

三角形的外角大于与其不相邻的任一内角。

外角定理，在《几何原本》中是第一卷第16命题。这意味着，在外角定理之前，没有太多的定理可用。尤其不可用第32命题来证明第16命题。

外角定理

如图，三角形ABC中，延长BC到点D，则角DCA是三角形的一个外角。求证，角DCA大于角A。

证明：
用反证法。证明两者不能相等，且外角不能小于内对角。
（1）假设外角DCA等于内角A.

外角定理证明图一

在射线CD上取一点E，使得CE=AB。
在三角形CEA和三角形ABC中，
CE=AB
角ECA=角A
CA=AC
那么，角BCA等于角EAC。
(SAS全等的前身命题，《原本》第一卷第4命题，《几何基础》合同公理。)

角BCA=角EAC
角ECA=角BAC（假设）

相加，角BCA+角ECA=角EAC+角CAB，
而角BCA+角ECA为两个直角，
所以角EAC+角CAB也为两个直角。

由此得到B,A,E三点共线。
所以E在直线AB上。

同时E在直线BC上（作图时如此）。

那么E就是直线AB和BC的一个交点。

而直线AB和BC已经有一个交点B。

由此得到直线AB和直线BC有两个交点。

这与“两直线相交，只有一个交点”矛盾。

故，假设不成了。

所以，外角不能等于内角。

（2）假设外角DCA小于内角A。

外角定理证明图二

根据假设，外角较小，那么，可以把外角迁移到内角之内，也就是，能在线段BC内找到一点B'，使得角B'AC等于外角。

那么，在三角形B'AC中，外角等于内对角。
而（1）已经证明，这是不可能的。
所以，假设不成立。

所以外角不能小于内角。

由（1）（2）知，外角既不能等于内对角，也不能小于内对角。

两个角比较，只有大于，等于，小于三种情形。

因此，外角只能大于内对角。

■