《机器学习》阅读心得——十、降维与度量学习

第十章 降维与度量学习

10.1 k近邻学习

  k近邻学习是一种常用的监督学习方法，其工作机制非常简单：给定测试样本，基于某种距离度量找出训练集中与其最靠近的k个训练样本，然后基于这k个“邻居”的信息来进行预测。通常，在分类任务中使用“投票法”，即选择k个样本中出现最多的类别标记作为预测结果；在回归任务中可使用“平均法”，将这k个样本的实值输出标记的平均值作为预测结果；还可以根据距离远近进行加权平均或加权投票，距离越近的样本权重越大。
  与前面的学习方法相比，k近邻学习没有显式的训练过程。这个算法是“懒惰学习”的著名代表，这类算法在训练阶段仅仅将样本保存起来，训练时间开销为零，收到测试样本后再进行处理。
  假定任意测试样本 x 附近任意小的 δ 距离范围内总能找到一个训练样本，对“最近邻分类器”（1NN，即 k=1）在二分类问题上的性能作简要分析可知，最近邻分类器的泛化误差不超过贝叶斯最优分类器的错误率的两倍。

10.2 低维嵌入

  上一节的结论是基于训练样本的采样密度足够大而得出的，然而，这个假设在现实任务中通常很难被满足。如果考虑属性维数，若要求训练样本满足密采样条件，需要的样本个数呈指数级上升。
  在高维情况下出现的数据样本稀疏，距离计算困难等问题，是所有机器学习方法共同面临的严重阻碍，被称为“维数灾难”。缓解维数灾难的一个重要途径是“降维”，也被称为“维数约简”，即通过某种数学变换将原始高维属性空间转变为一个低维“子空间”，在这个子空间中样本密度大幅度提高，距离计算也变得更加容易。
  为什么能进行降维？因为在很多情况下，与学习任务密切相关的仅是一个低维分布，即高维空间中的一个低维“嵌入”。若要求原始空间中高维样本之间的距离在低维空间中得以保持，即得到“多维缩放”（Multiple Dimensional Scaling,MDS）。
  一般来说，欲获得低维子空间，最简单的是对原始高维空间进行线性变换。给定d维空间的样本 X=(x1,x2,...,xm)∈Rd×m ，变换之后得到 d′≤d 维空间中的样本

Z=WTX(10.1)

其中 W∈Rd′×d 是变换矩阵， Z∈Rd′×m 是样本在新空间中的表达。
  变换矩阵W可视为 d′ 个d维基向量， zi=WTxi 是第i个样本与这 d′ 个基向量分别做内积而得到的 d′ 维属性向量。换言之， zi 是原属性向量 xi 在新坐标系 {ω1,ω2,...,ωd′} 中的坐标向量。若 ωi 与 ωj 正交，则新坐标系是一个正交坐标系，此时 W 是正交变换。
  基于线性变换来进行降维的方法称为线性降维方法，它们都符合式（10.1）的基本形式，不同之处在于对低维空间的性质有不同的要求。

10.3 主成分分析

  主成分分析（Principal Component Aanlysis,PDA）是最常用的一种降维方法。这个方法是由一个问题引申出来的：“对于正交属性空间中的样本点，如何应用一个超平面对所有样本进行恰当的表达？”
  若存在这样的超平面，它应当具有以下性质：
  1. 最近重构性：样本点到这个超平面的距离足够近；
  2. 最大可分性：样本点在这个超平面上的投影尽可能分开。
  基于这两个性质，能分别得到主成分分析的两种等价推导。先从最近重构性来推导，假定样本进行了中心化，即 ∑ixi=0 ；再假定投影变换后得到的新坐标系为 {ω1,ω2,...,ωd} ，其中 ωi 是标准正交基向量， ||ωi||2=1 ， ωTiωj=0 。若丢弃新坐标系中的部分坐标，即将维度降低到 d′<d ，则样本点 xi 在低维坐标系中的投影是 zi=(zi1,zi2,...,zid′) ，其中 zij=ωTjωi 是 xi 在低维坐标系下第j维的坐标。若基于 zi 来重构 xi ，则会得到 xi^=∑d′j=1zijωj 。
  考虑整个训练集，原样本点 xi 与基于投影重构的样本点 xi^ 之间的距离为

∑i=1m||∑j=1d′zijωj−xi||22=∑i=1mzTizi−2∑i=1mzTiWTxi+const∝−tr(WT(∑i=1mxixTi)W)(10.2)

其中 W=(ω1,ω2,...,ωd) 。根据最近重构性，上式应被最小化。考虑到 ωj 是标准正交基， ∑ixixTi 是协方差矩阵，有

min−tr(WTXXTW)s.t.WTW=I(10.3)

式（10.3）即为主成分分析的优化目标。
  从最大可分性出发，能得到主成分分析的另一种解释。样本点 xi 在新空间中超平面上的投影是 WTxi ，若所有样本的投影尽可能分开，则应该使得投影后样本点的方差最大化。投影后样本点的方差是 ∑iWTxixTiW ，于是优化目标可写为

maxtr(WTXXTW)s.t.WTW=I(10.4)

  对式（10.3）或式（10.4）使用拉格朗日乘子法可得

XXTωi=λiωi(10.5)

只需对协方差矩阵 XXT 进行特征值分解，将求得的特征值排序： λ1≥λ2≥...≥λd ，再取前 d′ 个特征值对应的特征向量构成 W∗=(ω1,ω2,...,ωd′) ，这就是主成分分析的解。
  PCA仅需保留 W∗ 与样本的均值向量即可将新样本投影至低维空间中。在投影的过程中，一部分信息被舍弃了，这么做之后样本的采样密度会增加，另一方面，当数据受到噪声影响时，最小的特征值所对应的特征向量往往与噪声有关，将它们舍弃能在一定程度上起到去噪的作用。

10.4 核化线性降维

  线性降维方法假设从高维空间到低维空间的函数映射是线性的，然而在不少现实任务中，可能需要非线性映射才能找到恰当的低维嵌入。如果直接使用线性降维的方式，有可能使得数据丧失原有的低维结构。
  非线性降维的一种常用方法是，基于核技巧对线性降维方法进行“核化”。下面以核主成分分许（Kernelized PCA,KPCA）为例进行演示。
  假定将在高维特征空间中把数据投影到由 W=(ω1,ω2,...,ωd) 确定的超平面上，则对于 ωj ，由式（10.5）有

(∑i=1mzizTi)ωj=λjωj(10.6)

假定 zi 是由原始属性空间中的样本点 xi 通过映射 ϕ 产生，即 zi=ϕ(xi),i=1,2,...,m. ,则式（10.6）变换为

(∑i=1Tϕ(xi)ϕ(xi)T)ωj=λjωj(10.7)

由上式可得

ωj=∑i=1mϕ(xi)αji(10.8)

其中 αji=1λjzTiωj 是 αi 的第 j 个分量。引入核函数，表示为

κ(xi,xj)=ϕ(xi)Tϕ(xj)(10.9)

将式（10.9）和式（10.8）代入式（10.7）后化简可得

Kαj=λjαj(10.10)

其中K为 κ 对应的核矩阵， (K)ij=κ(xi,xj),αj=(αj1;αj2;...;αjm) 。显然，式(10.10)是特征值分解问题，取 K 最大的 d′ 个特征值对应的特征向量即可。

10.5 流形学习

  流形学习是一类借鉴了拓扑流形概念的降维方法。“流形”是在局部与欧氏空间同胚的空间，换言之，它在局部具有欧氏空间的性质，能用欧氏距离进行距离的计算。这给降维方法带来了启发：若低维流形嵌入到高维空间，则数据样本在高维空间中的分布虽然比较复杂，但在局部上仍具有欧氏空间的性质。因此，可以容易的在局部建立降维映射关系，然后设法将局部映射关系推广到全局。

10.5.1 等度量映射

  等度量映射（Isometric Mapping,Isomap）的基本出发点，是认为低维流形嵌入到高维空间后，直接在高维空间中计算直线距离具有误导性，因为高维空间中的直线距离在低维嵌入空间中是不可达的。低维嵌入流形两点间的距离是“测地线”。
  如何计算测地线距离？利用流形在局部上与欧氏空间同胚的性质，对每个点基于欧氏距离找出近邻点，然后能够建立一个近邻连接图，图中近邻点之间存在连接，而非近邻点之间不存在连接。于是，计算两个点之间测地线距离的问题，转化为计算近邻连接图上两点之间的最短路径问题。
  对近邻图的构建有两种办法，一种是指定近邻点个数，例如欧氏距离最近的k个点为近邻点，这样得到的近邻图为k近邻图；另一种是指定距离阈值 ϵ ，距离小于 ϵ 的点被认为是近邻点，这样得到的近邻图为 ϵ 近邻图。在指定近邻范围时，若范围指定的较大，则距离很远的点可能会被误认为近邻，造成“短路”;若范围指定的较小，则图中有些区域可能与其他区域不存在连接，这样就出现了“断路”问题。

10.5.2 局部线性嵌入

  与Isomap试图保持近邻样本之间的距离不同，局部线性嵌入（Locally Linear Embedding,LLE）试图保持领域内样本之间的线性关系。假定样本点 xi 的坐标能通过它的邻域样本 xj,xk,xl 的坐标通过线性组合而重构出来的，即

xi=ωijxj+ωikxk+ωilxl(10.11)

LLE希望上式的关系在低维空间中得以保持。
  LLE先为每个样本 xi 找到近邻下标集合 Qi ，然后计算出基于 Qi 中的样本点对于 xi 进行线性重构的系数 ωi :

min∑i=1m||xi−∑j∈Qiωijxj||22s.t.∑j∈Qiωij=1(10.12)

其中 xi 和 xj 均为已知，令 Cjk=(xi−xj)T(xi−xk)，ωij 有闭式解

ωij=∑k∈QiC−1jk∑l,s∈QiC−1ls(10.13)

  LLE在低维空间中保持 ωi 不变，于是 xi 对应的低维空间中坐标 zi 可通过下式求解

min∑i=1m||zi−∑j∈Qiωijzj||22(10.14)

10.6 度量学习

  在机器学习中，对高维数据进行降维的主要目标是希望找到一个合适的低维空间，在此空间中进行学习能比原始空间性能更好。事实上，每个空间对应了在样本属性上定义的一个距离度量，而寻找合适的空间，本质上就是在寻找一个合适的距离度量。因此，度量学习提出了直接学习出一个合适的距离度量的方案。
  欲对距离度量进行学习，必须有一个便于学习的距离度量表达形式。现有的距离度量的表达形式都是固定的，没有可调剂的参数，因此首先对距离度量做一个推广：

dist2ed(xi,xj)=||xi−xj||22=dist2ij,1+dist2ij,2+...+dist2ij,d(10.15)

其中 distij,k 表示 xi 和 xj 在第k维上的距离。若假定不同属性的重要性不同，则可引入属性权重 ω ，得到

dist2wed(xi,xj)=ω1⋅dist2ij,1+ω2⋅dist2ij,2+...+ωd⋅dist2ij,d=(xi−xj)TM(xi−xj)(10.16)

其中 ωi≥0 ， W=diag(ω) 是一个对角矩阵， (W)ii=ωi 。
  上式中的W可通过学习确定。W的非对角元素均为零，这意味着坐标轴是正交的，即属性之间无关。但现实情况中往往不是这样。为此，将上式中的W替换为一个普通的半正定对称矩阵M，得到马氏距离（Mahalanobis distance）

dist2mah(xi,xj)=(xi,xj)TM(xi,xj)(10.17)

其中M被称为”度量矩阵”，度量学习是对M进行学习。