【总结】概率与期望

前言

作为NOIP级的知识点，概率与期望算是比较困难的类型了。
但其实也不是无法解决的难题。

本文主要通过作者本人的刷题经历，对概率期望类题目进行总结。

概率

51Nod1639绑鞋带：

有n根鞋带混在一起，每根鞋带有两个鞋带头。现在重复n次以下操作：随机抽出两个鞋带头，把它们绑在一起。求最终只形成一个环的概率？

依次考虑每一步操作，现在已经选出来了一个头，它必须和非它所在的链的另一个头绑在一起，才能得到合法方案。显然所有的鞋带头中，有且仅有一个和它在一条链上，所以成功的概率就是 剩下的鞋带头数−1剩下的鞋带头数 剩 下 的 鞋 带 头 数 − 1 剩 下 的 鞋 带 头 数 ，由于每次操作，会消去两个鞋带头，所以当前的鞋带头数=总的鞋带头数-操作次数*2。题目要求不允许失败，所以答案就是每一次成功概率的乘积。

在这道题目中，我们在每一步操作时，都计算出了当前的情况总数，并将其转化为概率的形式。

Uva1636 Headshot

题意很简单，有一把左轮手枪（左轮都不知道的面壁去），已知子弹的分布，现在开了一枪，是空枪，现在有两种方案：1，直接再开一枪，2、随机从某个位置再开一枪。求使得下一发子弹也是空枪
这道题算是比较简单的条件概率：已知第一发没有子弹。解法很简单，随机开一枪概率为 空子弹子弹总数 空 子 弹 子 弹 总 数 ，再开一枪概率 连续的空子弹空子弹 连 续 的 空 子 弹 空 子 弹

Uva11181 Probability|Given

这道题只是运用枚举法求概率的典型，价值不大。

Uva557 Burger

题意：有A、B两种汉堡各n个，2n个人依次拿，若当前两种汉堡均有剩余，随机拿走某种的一个，否则只能拿走剩余的。现在求最后两个人拿到不同的汉堡的概率。

其实就是计算拿前2n-2个，到最后每种都还剩一个的概率。就是说，前2n-2个人中，有n-1个拿的是A种汉堡，剩余的拿的是B种汉堡，那么这样合法的方案就是 C(2n−2,n−1) C ( 2 n − 2 , n − 1 ) ，这时，再来看每一步能拿到我们计划中的状态的概率，由于对于所有合法方案，最后两类都有剩余，也就是说，之前每个人都有选择，那么每一个人拿到我们想要他拿到的概率即为 12 1 2 ，一共拿 2n−2 2 n − 2 步，所以最终答案就是 C(2n−2,n−1)22n−2 C ( 2 n − 2 , n − 1 ) 2 2 n − 2

Uva11895 Honorary Tickets

题意：有k个大箱子，每个盒子里有 bi b i 个盒子，其中有 si s i 个盒子中有一个糖果。
现在每个人依次操作：选择一个能拿到糖果概率最大的箱子，从中随机打开一个盒子。现在求第k个人能拿到糖果的概率。

这道题可能乍一看觉得很简单，你可能会误以为对每个人而言，状态都是一样的。其实不然，由于每个人之前的人数不同，所以会对他的选择造成影响。比如下面这个例子：
现在又2个箱子，第一个箱子有3个盒子，2颗糖。第二个箱子有2个盒子，1颗糖。第一个人肯定选择第一个箱子，他有 23 2 3 的概率拿走一颗糖，还有 13 1 3 的概率不能拿走糖。那么下一次在这个箱子中能拿到糖的概率就变为了： 23×13+13×23=49 2 3 × 1 3 + 1 3 × 2 3 = 4 9 。这时第二个人就只能选第二个箱子了。

其实这个问题还是很简单。
首先，用优先队列存储每个箱子的信息，我们需要保存：这个箱子能拿到糖果的概率，这个箱子的盒子数。排列时按照概率从大到小，模拟每个人取糖果的过程，显然他只会从队首取，那么只需要更新一下队首的概率即可。

如何更新这个概率，我是推了一波公式推出来的结果，但lx大佬告诉了我一个更简单的推导方式：假设现在又m个盒子，能拿到糖的概率为p，由于每个盒子最多只有一个，所以现在有糖果的盒子期望数是m*p,那么有p的概率拿走一个，1-p的概率不拿走，所以更新后的答案就是 p∗m∗p−1m+(1−p)∗m∗pm=(m−1)∗pm p ∗ m ∗ p − 1 m + ( 1 − p ) ∗ m ∗ p m = ( m − 1 ) ∗ p m 。

lx大佬的方法巧妙地利用的期望的一些性质，使得推导过程变得极为简洁，所以推导概率时，巧用期望也是一种极好的方式。

Hdu4326 Game

题意：有n个人排成一列，每次前4个人玩一次游戏，每个人等概率获胜，获胜者留在队首，其余人按照原顺序排列到队位。当一个人连续胜利m次后，就成为赢家。现在求拍第k个位置的人获胜的概率。
n，m≤10 n ， m ≤ 10

这题乍一看很复杂，因为失败者会到队尾去，也就是说有可能继续参加游戏，所以整个游戏过程就变得极为复杂。

但其实不需考虑这么多。由于题目要求第k个人获胜的概率，那么我们完全可以忽略其他无关人士的影响。有谁会对当前这个人的胜率造成影响呢？显然只有队首的那个人，因为最终获胜的人肯定在队首。所以我们可以借助DP解决。
DP[i][j]表示队首的人获胜了i次，此时排第j号位置的人的胜率。转移方程很简单，只不过会形成环，所以要用高消解决。前4个人的转移稍微复杂一点，其他人都是一样的。这里就不再赘述。

这道题的精髓在于，不需要考虑无关因素，就是说不需要考虑到底初始编号为几的人赢了，编号为几的人输了。只需要关心当前队首的人即可。并且借助了DP来解决问题，同时用了高消，强烈建议实现这道题。

期望

期望题本质上和概率差不多，所以就少说一点题目了。

One Person Game

题意：有三个骰子，每个骰子有 ki k i 个面，当每个骰子的点数分别为a、b、c时，回到原点，否则前进点数之和的步数。求到达目标的期望掷骰子次数。

转移方程很好写

dp[i]=∑x1≤k1,x2≤k2,x3≤k3且(x1≠a或x2≠b或x3≠c)dp[i+x1+x2+x3]×1k1k2k3+dp[0]1k1k2k3 d p [ i ] = ∑ x 1 ≤ k 1 , x 2 ≤ k 2 , x 3 ≤ k 3 且 ( x 1 ≠ a 或 x 2 ≠ b 或 x 3 ≠ c ) d p [ i + x 1 + x 2 + x 3 ] × 1 k 1 k 2 k 3 + d p [ 0 ] 1 k 1 k 2 k 3

，只不过会仍然会形成环。但这道题不需要高消。观察发现，每个点都只会和dp[0]扯上关系，而我们的答案正是dp[0]，所以只需要将每个dp值用dp[0]表示出来即可。

Time travel

高消求期望

Name That Tune

题意：有n首歌，每首歌有一个长度 ti t i ，同时有一个识别率 pi p i 表示每秒钟都有 pi p i 的概率识别出这首歌，当这首歌放完时，就一定能识别出这首歌。求能依次识别的歌的数量的期望。

设 dp[i][j] d p [ i ] [ j ] 表示在前i秒，刚好听完j首歌的概率。
转移需要优化。还要卡卡常（5000*5000可能会卡一卡），题目本身很简答，这里就不再多说。

总结

总的来说，这类题目难度波动很大，有很恶心的，也有非常水的，也有看起来恶心其实水的，以及看起来水其实很恶心的（废话）。但其实做多了也不觉得恶心了，每道题概率期望那一部分都已渐渐成为套路，只是每道题各有各的特点而已。