c++数据结构及算法

大O表示法
最常用来描述渐进复杂度引入大O表示法，给定两个正值函数f和g。
定义：
如果存在正数c和N，对于所有的n>=N，有f(n)<=cg(n),则f(n)=O(g(n)).
上述定义表明，如果对于足够大的n（或大于某自然数的N的n）存在正数c时f不大于cg，则f为g的大O表示法
f(n)=2n²+3n+1=O (n²)
为了选择更好的c和N，规定某个N值，f中的某项应该时最大项，在等式中只有2n²和3n可能是最大项，但是当n>1.5时，2n²>3n，他们都与同一函数对g(n)=n²和f(n)有关，对于固定的g，可以得出无穷多的常数对c和N，关键在于g和f以相同速率增长。大O表示中固有的不精确性还会导致其他问题，所以大O表示法定义中的f(n)用n²代替，n²为f(n)的大O表示
2n²+3n+1<=cn²
大O表示法的性质

1. （传递性）如果f(n)=O(g(n)),g(n)=O(h(n)),那么f(n)=O(h(n))(或者O(O(g(n)))=O(g(n)))
   证明：
   根据定义若存在正数c1和N1，对于所有的n>=N1,有f(n)<=c1g(n),则f(n)=O(g(n));同样，若存在正数c2和N2，对于所有n>=N2,有g(n)<=c2h(n),则g(n)=O(h(n))。因此，对于所有n>=N，其中N为N1与N2中的较大者，有c1g(n)<=c1c2h(n)，只要取c=c1*-c2，则对于所有的n>=N有f(n)<=ch(n),即f(n)=O(h(n))。
2. 如果f(n)=O(h(n)),g(n)=O(h(n)),则f(n)+g(n)=O(h(n))
   证明：
   令c=c1+c2，则有f(n)+g(n)<=ch(n)。
3. an^k=O(n^k)
   证明：
   令c>=a,不等式an^k<=cn^k恒成立。
4. 对于任何正数j，n^k=O(n^k+j)。
   证明：
   令c=N=1，成立
   从上面的性质可以推出，任何多项式都是该多项式中次数最高的大O表示。
   对数函数是算法效率评估中一个非常重要的函数。实际上，如果算法复杂度是一个对数函数，那么该算法非常好
   性质：
5. 如果f(n)=cg(n),则f(n)=O(g(n)).
6. 对于任何正数a和b(b！=1)，loga(n)=O(logb(n))。
   该性质说明对数函数之间存在对应关系，性质6表明，无论底数为何，对数函数互为大O表示也就是说所有的对数函数有相同的增长速度。
7. 对于任何正数a！=1，loga(n)=O(lg(n)),其中lg(n)=log2(n)。