欧几里得算法

欧几里得算法自然语言的描述

计算两个非负整数p和q的最大公约数：若q是0，则最大公约数为p。否则，将p除以q得到余数r，p和q的最大公约数即为q和r的最大公约数。

概念理解

1. 最大公约数 ：

最大公约数：也称最大公因数，是指两个或两个以上的整数之间存在的最大共有约数，也叫除数。例如：
a=8 b=12
则a的约数分别为：1，2，4，8
b的约数分别为：1，2，3，4，6，12
经过比较可得a与b的最大公约数为4
注意： 0和任何数的最大公约数都是这个数本身

例如：a=0,b=12,则它们的最大公约数为12

2. 辗转相除法

辗转相除法：又称欧几里得算法，其核心是：

两个整数的最大公约数= 较小的那个数与两数相除的余数最大公约数
由此可得以下假设：
假设有两个数a，b，且a>b，则a和b的最大公约数等于b与a和b相除的余数的最大公约数
知道余数为0，则根据第一点最大公约数中的注意项，我们就能得到其最大公约数


由此不断反复，我们就可以得到一个迭代算法思想

3.举例

假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里德算法，是这样进行的：
1997 / 615 = 3 (余 152)
615 / 152 = 4(余7)
152 / 7 = 21(余5)
7 / 5 = 1 (余2)
5 / 2 = 2 (余1)
2 / 1 = 2 (余0)
至此，最大公约数为1
以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

4.证明

证法一：
a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r 假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。
而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此d|r
因此d也是b,a mod b的公约数
假设d是b,a mod b的公约数, 则d|b,d|(a-k*b),k是一个整数。
进而d|a.因此d也是a,b的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

证法二：
假设c = gcd(a,b),则存在m,n，使a = mc, b = nc;
令r = a mod b，即存在k，使r = a-kb = mc - knc = (m-kn)c;
故gcd(b,a mod b) = gcd(b,r) = gcd(nc,(m-kn)c) = gcd(n,m-kn);
则c为n与m-kn的公约数;
假设d = gcd(n,m-kn), 则存在x,y, 使n = xd, m-kn = yd; 故m = yd+kn = yd+kxd = (y+kx)d;
故有a = mc = (y+kx)dc, b = nc = xdc; 可得 gcd(a,b) = gcd((y+kx)dc,xdc) = dc;
由于gcd(a,b) = c, 故d = 1;
即gcd(n,m-kn) = 1, 故可得gcd(b,a mod b) = c;
故得证gcd(a,b) = gcd(b,a mod b).## 功能快捷键

5.使用程序代码编写如下：

public static int gcd(int p,int q){
	if(q == 0) return p;
	int r = p % q;
	return gcd(q,r);
}